这个公式是可靠性工程中，用二项分布计算单侧置信下限的核心公式，我们可以从背景、含义、参数、应用和计算步骤四个方面来拆解：
1. 公式背景
在可靠性试验中，我们会对 \(n\) 个产品进行测试，观察到 \(r\) 个失效。我们想知道：在给定置信水平 \(C\) 下，产品的可靠度 \(R\) 至少能达到多少（即可靠度的单侧置信下限）。
这个场景本质上是一个“成功/失败”的二项分布问题：
- 成功：产品在试验中未失效，概率为 \(R\)
- 失败：产品在试验中失效，概率为 \(1-R\)
2. 公式与参数含义
\[\sum_{x=0}^{r} \binom{n}{x} R^{n-x} (1-R)^x \le 1 - C \tag{9.2.1}
\]
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| \(n\) | 样本容量，即试验的产品总数 |
| \(r\) | 失效次数，即试验中失效的产品数量 |
| \(R\) | 待求的产品可靠度（未知，需要求解） |
| \(C\) | 置信水平，例如 0.9、0.95，表示我们对结论的信心程度 |
| \(1-C\) | 显著性水平，即我们愿意承担的犯错概率 |
| \(\binom{n}{x}\) | 组合数，表示从 \(n\) 个产品中恰好有 \(x\) 个失效的组合方式数 |
| \(R^{n-x} (1-R)^x\) | 二项分布的概率质量函数，表示在 \(n\) 次试验中恰好有 \(x\) 次失效的概率 |
3. 公式的统计意义
这个不等式的核心是：
当真实可靠度为 \(R\) 时，观察到“失效次数 ≤ \(r\)”这一事件的概率，必须小于等于 \(1-C\)。
- 左边求和项 \(\sum_{x=0}^{r} \binom{n}{x} R^{n-x} (1-R)^x\)：代表在真实可靠度为 \(R\) 的前提下，试验中失效数不超过 \(r\) 的概率。
- 右边 \(1-C\)：是我们设定的显著性水平。
当我们找到满足这个不等式的最小 \(R\) 值时，这个 \(R\) 就是在置信水平 \(C\) 下的可靠度单侧置信下限 \(R_L\)。
4. 典型应用场景
- 定数截尾试验：对 \(n\) 个产品进行试验，直到出现 \(r\) 个失效就停止。
- 计算可靠度置信下限：已知 \(n\) 和 \(r\)，求解满足不等式的 \(R\)，得到 \(R_L\)。
- 确定试验方案：已知目标可靠度 \(R\) 和置信水平 \(C\)，反推需要多少样本 \(n\) 或允许多少失效 \(r\)。
5. 计算示例
假设：
- 样本容量 \(n = 20\)
- 失效次数 \(r = 1\)
- 置信水平 \(C = 0.9\)（即 \(1-C = 0.1\)）
我们需要求解满足下式的 \(R\)：
\[\sum_{x=0}^{1} \binom{20}{x} R^{20-x} (1-R)^x \le 0.1
\]
展开后为：
\[\binom{20}{0} R^{20} (1-R)^0 + \binom{20}{1} R^{19} (1-R)^1 \le 0.1
\]
\[R^{20} + 20 R^{19} (1-R) \le 0.1
\]
通过数值方法（如二分法）求解，可以得到可靠度的单侧90%置信下限 \(R_L \approx 0.86\)。这意味着我们有90%的把握认为，产品的可靠度至少为86%。
6. 工程实现（Python/Matlab）
在实际工程中，这个方程通常用数值方法求解，以下是两种实现方式：
Python (使用 scipy.optimize)
from scipy.optimize import root_scalar
import numpy as np
from scipy.special import combdef equation(R, n, r, C):s = 0for x in range(r+1):s += comb(n, x) * (R ** (n - x)) * ((1 - R) ** x)return s - (1 - C)# 求解 R_L
n, r, C = 20, 1, 0.9
sol = root_scalar(equation, args=(n, r, C), bracket=[0, 1], method='brentq')
R_L = sol.root
print(f"可靠度单侧置信下限 R_L = {R_L:.4f}")
Matlab
n = 20;
r = 1;
C = 0.9;
fun = @(R) sum(binompdf(n, 1-R, 0:r)) - (1-C);
R_L = fzero(fun, 0.5);
fprintf('可靠度单侧置信下限 R_L = %.4f\n', R_L);
7. 附录
我们先把这个式子写清楚：
\[\sum_{x=0}^{r} \binom{n}{x} R^{n-x} (1-R)^x \le 1 - C
\]
展开的过程就是把求和符号\(\sum\) 去掉，把从\(x=0\) 到\(x=r\) 的每一项都写出来，然后相加。
逐项展开
-
当\(x=0\) 时：
\[\binom{n}{0} R^{n-0} (1-R)^0 = 1 \cdot R^n \cdot 1 = R^n \] -
当\(x=1\) 时：
\[\binom{n}{1} R^{n-1} (1-R)^1 = n \cdot R^{n-1} \cdot (1-R) \] -
当\(x=2\) 时：
\[\binom{n}{2} R^{n-2} (1-R)^2 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot R^{n-2} \cdot (1-R)^2 \] -
……
以此类推，直到\(x=r\)： -
当\(x=r\) 时：
\[\binom{n}{r} R^{n-r} (1-R)^r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot R^{n-r} \cdot (1-R)^r \]
完整展开式
把这些项全部加起来，就得到了不等式左边的展开形式：
\[\begin{aligned}
\sum_{x=0}^{r} \binom{n}{x} R^{n-x} (1-R)^x &= \binom{n}{0}R^n(1-R)^0 + \binom{n}{1}R^{n-1}(1-R)^1 + \binom{n}{2}R^{n-2}(1-R)^2 + \dots + \binom{n}{r}R^{n-r}(1-R)^r \\
&= R^n + nR^{n-1}(1-R) + \frac{n(n-1)}{2}R^{n-2}(1-R)^2 + \dots + \frac{n!}{r!(n-r)!}R^{n-r}(1-R)^r
\end{aligned}
\]
所以，整个不等式展开后就是：
\[R^n + nR^{n-1}(1-R) + \frac{n(n-1)}{2}R^{n-2}(1-R)^2 + \dots + \frac{n!}{r!(n-r)!}R^{n-r}(1-R)^r \le 1 - C
\]
举个具体例子
如果\(n=5\)，(r=2$，那么展开式为：
\[\begin{aligned}
\sum_{x=0}^{2} \binom{5}{x} R^{5-x} (1-R)^x &= \binom{5}{0}R^5 + \binom{5}{1}R^4(1-R) + \binom{5}{2}R^3(1-R)^2 \\
&= R^5 + 5R^4(1-R) + 10R^3(1-R)^2
\end{aligned}
\]