专题：新定义\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)题型：位似+圆最值问题\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★
【题目】
（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系\(xOy\)中，给出如下定义：点\(P\)是图形\(W\)外一点，点\(Q\)在\(PO\)的延长线上，使得\(\dfrac{PO}{QO}= \dfrac{1}{2}\)，如果点\(Q\)在图形\(W\)上，则称点\(P\)是图形\(W\)的“延长\(2\)分点”，例如：如图1，\(A(2，4)\)，\(B(2，2)\)，\(P(-1，-\dfrac{3}{2})\)是线段\(AB\)外一点，\(Q(2，3)\)在\(PO\)的延长线上，且\(\dfrac{PO}{QO}= \dfrac{1}{2}\)，因为点\(Q\)在线段\(AB\)上，所以点\(P\)是线段\(AB\)的“延长\(2\)分点”．
(1)如图1，已知图形\(W_1\)：线段\(AB\)，\(A(2，4)\)，\(B(2，2)\)，在\(P_1 (- \dfrac{5}{2} ， -1)\)，\(P_2 (-1， -1)\)，\(P_3 (-1， -2)\)中，______是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”；
(2)如图2，已知图形\(W_2\)：线段\(BC\)，\(B(2，2)\)，\(C(5，2)\)，若直线\(MN：y=-x+b\)上存在点\(P\)是图形\(W_2\)的“延长\(2\)分点”，求\(b\)的最小值：
(3)如图3，已知图形\(W_3\)：以\(T(t，1)\)为圆心，半径为\(1\)的\(⊙T\)，若以\(D(-1， -2)\)，\(E(-1，1)\)，\(F(2，1)\)为顶点的等腰直角三角形\(DEF\)上存在点\(P\)，使得点\(P\)是图形\(W_3\)的“延长\(2\)分点”．请直接写出\(t\)的取值范围．
【详解】
第一问：
对于新定义，最好也能用自己通俗的语言表达出来；点\(P\)是图形\(W\)的“延长\(2\)分点”，即点\(P\)不在\(W\)上，延长\(PO\)\(2\)倍后到达的点\(Q\)在\(W\)上.
第一问中，直接采取作图的方法判断，也较容易得到答案，由于填空题问题不大；那想严谨些呢？
要理解“点\(P\)是图形\(W\)的延长\(2\)分点”的本质，点\(P、O、Q\)三点共线，且满足\(QO=2PO\)，求出直线\(PO\)方程再求点\(Q\)，看其是否在线段\(AB\)上；这也太麻烦了，其实应该较容易想到相似，就很容易判断了。
那还有什么方法呢？看解析。
方法1 作图法
直接用尺子连接\(P_i O(i=1，2，3)\)并延长\(2\)倍长度，即可判断\(P_2\)，\(P_3\)是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”.
方法2 相似三角形法
以点\(P_1\)，\(P_2\)为例
如上图，易得\(∆P_1 CO~∆HFO\)，即点\(P_1 (- \dfrac{5}{2} ， -1)\)对应点是\(H(5，2)\)，
故点\(P_1\)不是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”；
易得\(∆P_2 CO~∆BDO\)，即点\(P_2 (-1，-1)\)对应点是\(B(2，2)\)，
故点\(P_2\)是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”.
方法3 位似法
作线段\(AB\)以原点为位似中心，位似比为\(2：1\)的位似图形\(A' B'\)，
\(∵A(2，4)\)，\(B(2，2)\)，\(∴A' (-1，-2)\)，\(B' (-1，-1)\)，
\(∵\)点\(P\)是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”，\(∴\)点\(P\)在线段\(A' B'\)上，
\(∵P_2 (-1， -1)\)，\(P_3 (-1， -2)\)在线段\(A' B'\)上，
\(∴P_2\)，\(P_3\)是图形\(W_1\)的“延长\(2\)分点”；
故答案为：\(P_2\)，\(P_3\)；
第二问：
假如第一问只想到作图法第二问很难下手，用相似三角形法也会比较复杂。用到位似法就容易多了！
作\(BC\)以原点为位似中心，位似比为\(2：1\)的位似图形\(B' C'\)，如图，
\(∵B(2，2)\)，\(C(5，2)\)，
\(∴B' (-1，-1)\)，\(C(- \dfrac{5}{2}，-1)\)，
\(∵\)直线\(MN：y=-x+b\)上存在点\(P\)是图形\(W_2\)的“延长\(2\)分点”，
\(∴\)直线\(MN：y=-x+b\)与\(B' C'\)有交点，
\(∴\)当\(MN：y=-x+b\)过点\(C'\)时，\(b\)值最小，
把\(C(- \dfrac{5}{2}，-1)\)，代入\(y=-x+b\)，得：\(b=- \dfrac{7}{2}\)，
\(∴b\)的最小值为\(- \dfrac{7}{2}\)；
第三问：
由于圆\(T\)是动圆，而三角形\(△DEF\)是确定的，所以想利用第二问中位似的处理，尝试把定三角形\(△DEF\)作位似得到\(△D' E' F'\)，再判断动圆\(T\)什么情况下与\(△D' E' F'\)相切，这样会更简单些。
作\(△DEF\)以原点为位似中心，位似比为\(1：2\)的位似\(△D' E' F'\)，
\(∵D(-1， -2)\)，\(E(-1，1)\)，\(F(2，1)\)，
\(∴D' (2， 4)\)，\(E' (2，-2)\)，\(F' (-4，-2)\)，
\(∵\)等腰直角三角形\(DEF\)上存在点\(P\)，使得点\(P\)是图形\(W_3\)的“延长\(2\)分点”，
\(∴\)当\(W_3\)与\(△D' E' F'\)有交点时，满足题意，
(显然要分类讨论，把动圆从右往左移动，考虑什么时候与\(△D' E' F'\)的三边有相切的可能)
①当\(⊙T\)与\(D' E'\)相切时，如图，则：\(t=1\)或\(t=3\)，
\(∴1≤t≤3\)时，满足题意；
②当\(⊙T\)与\(D' F'\)相切时，且切点为\(G\)，连接\(TG\)，则：\(∠TGE=90^\circ\)，
\(∵△DEF\)为等腰直角三角形，
\(∴△D' E' F'\)为等腰直角三角形，
\(∵E(-1，1)\)，\(F(2，1)\)，\(E' (2，-2)\)，\(F' (-4，-2)\)，
\(∴EF∥E' F'∥x\)轴，
\(∴∠D' F' E'=45^\circ\)，
\(∵\)以\(T(t，1)\)为圆心，半径为\(1\)的\(⊙T\)，
\(∴T\)点在直线\(EF\)上，\(TG=1\)，
\(∴∠TEG=∠D' E' F'=45^\circ\)，
\(∴ET= \sqrt{2} TG= \sqrt{2}\)，
\(∴t=-1- \sqrt{2}\)或\(t= \sqrt{2}-1\)，
\(∴-1- \sqrt{2}≤t≤ \sqrt{2}-1\)；
综上：\(1≤t≤3\)或\(-1- \sqrt{2}≤t≤ \sqrt{2}-1\)．