会求解一阶齐次线性微分方程

一阶线性齐次微分方程的形式如下：

dy dx + P ( x ) y = 0 \frac{\text{dy}}{\text{dx}} + P\left( x \right)y = 0dxdy​+P(x)y=0

这同样是一种特殊、相对简单的常微分方程，只是比可分离变量方程、齐次微分方程稍显复杂那么一点点。

要想看更多有趣的微积分故事、知识，请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》（邓子云著）。

首先，从名称上来理解这种方程。所谓**“一阶”**是指导数只有一阶，不涉及二阶导数和更高阶的导数。

所谓**“齐次”**也具有两层含义。第一层含义看形式。从外观上来看，方程的右边为0，左边除了dy dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}}dxdy​、P ( x ) y P\left( x \right)yP(x)y外，再没有其它的项。第二层含义看实质。这与此前学习的齐次微分方程类似。

如果x xx和y yy如果同时乘以常数k ( k ≠ 0 ) k(k \neq 0)k(k=0)，可得：

d ( k y ) d ( k y ) + P ( kx ) k y = 0 ⟹ dy dx + P ( kx ) k y = 0 \frac{d(ky)}{d(ky)} + P\left( \text{kx} \right)ky = 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} + P\left( \text{kx} \right)ky = 0d(ky)d(ky)​+P(kx)ky=0⟹dxdy​+P(kx)ky=0

从形式上来看，它仍然是一个一阶齐次线性微分方程。

所谓**“线性”**就是指没有只有有关y的一次方多项式，不会出现有关y 2 y^{2}y2、y dy dx y\frac{\text{dy}}{\text{dx}}ydxdy​、( dy dx ) 2 \left( \frac{\text{dy}}{\text{dx}} \right)^{2}(dxdy​)2等形式的二次方及以上多项式。

**学习点拨：**一阶线性微分方程中也不会出现有关x的二次方及以上多项式，但是P ( x ) P\left( x \right)P(x)中可以出现关于x的二次方及以上多项式。

接下来，看如何求解一阶齐次线性微分方程。

dy dx + P ( x ) y = 0 ⟹ dy dx = − P ( x ) y ⟹ 1 y d y = − P ( x ) d x ⟹ ∫ 1 y dy = − ∫ P ( x ) dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}} + P\left( x \right)y = 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - P\left( x \right)y \Longrightarrow \frac{1}{y}dy = - P\left( x \right)dx \Longrightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{y}\text{dy}} = - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}}dxdy​+P(x)y=0⟹dxdy​=−P(x)y⟹y1​dy=−P(x)dx⟹∫​y1​dy=−∫​P(x)dx

⟹ ln ⁡ ∣ y ∣ = − ∫ P ( x ) dx + C ⟹ y = ± e − ∫ P ( x ) dx + C \Longrightarrow \ln\left| y \right| = - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} + C \Longrightarrow y = \pm e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} + C}⟹ln∣y∣=−∫​P(x)dx+C⟹y=±e−∫​P(x)dx+C

考虑到e ee的指数中有函数，看起来指数上的文字会比较小，容易看错，所以常把e ee的幂次形式写成exp ⁡ ( ) \exp()exp()的形式。

y = ± e xp ( − ∫ P ( x ) dx + C ) ⟹ y = ± e xp ( − ∫ P ( x ) dx ) e x p ( C ) y = \pm e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} + C \right) \Longrightarrow y = \pm e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} \right)exp\left( C \right)y=±exp(−∫​P(x)dx+C)⟹y=±exp(−∫​P(x)dx)exp(C)

这个式子中，因为± e x p ( C ) \pm exp\left( C \right)±exp(C)可正、可负，结果仍然是一个常数，且这个常数可表达出的数值范围是任意的正数、负数，所以± e x p ( C ) \pm exp\left( C \right)±exp(C)可以用另一个常数D DD来代替。因此，可以写为：

y = D ∙ e xp ( − ∫ P ( x ) dx ) y = D \bullet e\text{xp}\left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}} \right)y=D∙exp(−∫​P(x)dx)

**学习点拨：**如何是否可以用常数D DD代替含有常数C CC的项？**标准就看替换后是否影响表达的数值范围。**如果不影响就可以替换。后续的学习中还会有很多这样的简化应用。

要想看更多有趣的微积分故事、知识，请参见清华大学出版社的《人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分》（邓子云著）。

例：求解方程

dy dx + x 2 y = 0 \frac{\text{dy}}{\text{dx}} + x^{2}y = 0dxdy​+x2y=0

dy dx + x 2 y = 0 ⟹ dy dx = − x 2 y ⟹ 1 y d y = − x 2 d x ⟹ ∫ 1 y dy = − ∫ x 2 dx \frac{\text{dy}}{\text{dx}} + x^{2}y = 0 \Longrightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - x^{2}y \Longrightarrow \frac{1}{y}dy = - x^{2}dx \Longrightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{y}\text{dy}} = - \int_{}^{}{x^{2}\text{dx}}dxdy​+x2y=0⟹dxdy​=−x2y⟹y1​dy=−x2dx⟹∫​y1​dy=−∫​x2dx

⟹ ln ⁡ ∣ y ∣ = − 1 3 x 3 + C ⟹ y = ± e x p ( − 1 3 x 3 + C ) ⟹ y = D ∙ exp ⁡ ( − 1 3 x 3 ) \Longrightarrow \ln\left| y \right| = - \frac{1}{3}x^{3} + C \Longrightarrow y = \pm exp\left( - \frac{1}{3}x^{3} + C \right) \Longrightarrow y = D \bullet \exp\left( - \frac{1}{3}x^{3} \right)⟹ln∣y∣=−31​x3+C⟹y=±exp(−31​x3+C)⟹y=D∙exp(−31​x3)