【现代机器人学】一、位形空间（Configuration Space）
1. 引言
如何描述一个机器人的位置？
位形，Configuration. 它描述了机器人身上所有点的位置。
位形空间，C-space，所有位形所在的空间
自由度，Degrees of freedom (dof)，位形空间的维数
例如，一个双关节机器人（two-joint robot）的C-space可以被可视化为一个二维的圆环面
2. 刚体自由度的计算
3维空间中的刚体有3个位置自由度，3个角度自由度
n维空间中的刚体，有n个位置自由度，个角度自由度，一共有
个自由度
3. 机器人的自由度
机器人的自由度类似于刚体的自由度公式，
机器人运动约束往往来自于关节（joints）.
常见的关节类型
| 关节名称 | 自由度 | 示意图 |
|---|---|---|
旋转关节 revolute joint | 1 | |
移动关节 prismatic joint or linear joint | 1 | |
万向节 universal joint | 2 | |
球关节 spherical joint | 3 |
计算机器人自由度的方法
= # of bodies, including ground
= # of joints
= dof of a single body, 6 for spatial bodies, 3 for planar
该式被称为Grubler's formula，该公式假设各关节提供的约束都是独立的。
例如，开链机器人（3R serial "open-chain" robot）
平面单个刚体自由度，刚体数
，关节数
，每个关节有1个自由度，
dof=3(4-1)-3×2=3
Stewart平台（六自由度平台），这是一个空间闭链机构，
连杆数，2×6+2=14；
每条腿上端是球关节（3dof），下端是万向节（2dof），中间是平移杆（1dof），共6dof，3个关节；
dof=6×(14-1)-6×(3×6-6)=6
4. 位形空间的拓扑（topology）
同样维度的空间可能有不同的拓扑，如果两个形状可以不经过切分和粘合进行相互转化，则该两个形状拓扑等价。
比如，平面和圆环面同属于二维空间，但二者拓扑不同。如果在两者上同时表示同一点，则点的运动可能存在突变（不连续）。
5. 位形空间的表示
- 显示参数化（Explicit Parametrization）
即使用最少的坐标来表示空间。
- 隐式表示法（Implicit representation）
它使用更多的坐标，并受到一些约束。
它的思想在于将n维空间嵌入在更高维的空间中，但受到一定的约束。
通常我们使用隐式表示法来表达C-space。
6. 位形和速度约束
例如，一个闭链四连杆机构，
我们可以将这个C-space视为嵌入在四维空间中的一维空间。该空间由3个闭环方程定义如下，
写成向量形式，定义
，
该约束被称为完整约束（holonomic constraints）,它能够减少C-space的维度
因为g必须始终为0，所以g相对于时间的变化率也恒为0，每一个先对每一个
求偏导，然后
再对时间求偏导，即
定义第一个矩阵为，速度约束可以写成
，称为Pfaffian约束。如果该约束不能通过积分成为等价的位形约束，则称之为非完整约束（nonholonomic constraints）。
7. 任务空间和工作空间
任务空间，Task Space，由任务定义，指出机器人的任务所在的空间，与机器人无关；
工作空间，Works Space，指明了机器人末端执行器（end-effector）可以达到的位形，与任务无关。