15、连续与离散时间状态空间模型：原理、转换及应用

连续与离散时间状态空间模型：原理、转换及应用

在工程和控制领域中，状态空间模型是描述系统动态特性的重要工具。它能够清晰地展示系统输入、输出和内部状态之间的关系，为系统分析和设计提供有力支持。本文将深入探讨连续时间和离散时间状态空间模型的相关知识，包括直接传输项、坐标变换、动态响应以及采样与混叠等关键概念。

1. 连续时间状态空间模型

1.1 直接传输项

在实际应用中，输出向量 $y$ 通常不仅包含位移 $w(t)$ 或速度 $\dot{w}(t)$ 的信息，还可能涉及加速度测量。加速度 $\ddot{w}(t)$ 不仅与位移向量有关，还与输入向量有关。为了将加速度信息纳入输出方程，可以将加速度测量方程表示为：
$y = C_a \ddot{w}$
其中，矩阵 $C_a$ 描述了向量 $\ddot{w}$ 与测量向量 $y$ 之间的关系，包含了物理单位（如米）和电气单位（如伏特）之间的转换因子。将 $\ddot{w}$ 的表达式代入上式，可得到更一般的形式：
$y = Cx + Du$
这里，$C = [-C_aM^{-1}K \quad -C_aM^{-1}\$ ]$，$D = C_aM^{-1}B_f$。$C$ 是状态向量 $x$ 的输出影响矩阵，$D$ 项称为直接传输项，它直接将输入 $u$ 传输到输出 $y$，无需经过中间状态方程。

示例：考虑一个弹簧 - 质量 - 阻尼器系统，其二阶矩阵方程为：
$\begin{bmatrix}
\ddot{w}_1 \
\ddot{w}_2
\end{bmatrix} =
\begin