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Polya 定理学习笔记

news 2026/3/27 2:27:31

群论相关知识

群

对于一个集合 \(G\) 和一个二元运算 \(*\)，若满足如下四个性质，则称二元组 \((G,*)\) 是一个群：

封闭性：\(\forall_{x,y\in G},x*y\in G\)；
结合律：\((a*b)*c=a*(b*c)\)；
存在单位元：\(\exist_{e\in G},\forall_{a\in G},e*a=a*e=a\)；
存在逆元：\(\forall_{a \in G},a^{-1} \in G\)；

在实际运用中，二元运算 \(*\) 通常不便于表述或我们更关心集合之间的关系，因此习惯上直接称一个集合 \(G\) 是群也是可能的，下文同理。

子群

对于群 \((G,*)\)，若 \(H \subset G\) 且 \((H,*)\) 是一个群，则称 \((H,*)\) 是 \((G,*)\) 的一个子群。

陪集

设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，对于 \(g \in G\)，则称 \(gH=\{gh|h \in H\}\) 是 \(H\) 在 \(g\) 下的陪集。（这其实是左陪集，类似有右陪集，但这里我们只研究左陪集）

陪集具有很多优美的性质：

\(\forall_{g \in G},|gH|=|H|\)。显然；
\(g\in H\) 是 \(\forall_{g \in G},gH=H\) 成立的充要条件。先看充分性：不妨假设 \(H\) 中存在一个元素 \(h\) 不在 \(gH\) 中，则说明 \(h*g^{-1} \notin H\)，这与封闭性相悖；再看必要性：因为 \(g*e=g\in H\)，结论显然成立。
对于 \(g_1,g_2 \in G\)，要么 \(g_1H=g_2H\)，要么 \(g_1H \cap g_2H=\empty\)。证明：考虑若存在 \(c \in g_1H,c\in g_2H\)，那么说明 \(\exist_{h_1,h_2 \in H} g_1h_1=g_2h_2 \Rightarrow g_1g_2^{-1}=h_2h_1^{-1} \in H\)。由上一条性质可以证明 \(g_1g_2^{-1}H=H\rightarrow g_1H=g_2H\)。

商群

记 \(G/H=\{gh|g\in G\}\)，表示 \(H\) 的所有陪集的集合。

当 \(G\) 有限时，\(|H||G/H|=|G|\)。

群作用

对于群 \(G\) 和集合 \(X\)，若存在一种映射关系（可以认为是一种二元函数）：\(G \times X \rightarrow X\)，则称这个映射关系 \(\star\) 为群 \(G\) 在集合 \(X\) 上的作用。

群作用满足以下性质：

\(\forall_{g_1,g_2 \in G,x\in X},g_1\star(g_2\star x)=(g_1*g_2)\star x\)；

轨道和稳定化子

对于 \(x \in X\)，定义 \(x\) 在群 \(G\) 上的轨道 \(Gx=\{g\star x|g \in G\}\)。

对于 \(x \in X\)，定义 \(x\) 在群 \(G\) 上的稳定化子 \(Stab(x)=\{g|g\star x=x\}\)。

值得一提的是 \(Gx \subseteq X,Stab(x)\subseteq G\)。

轨道-稳定化子定理

对于 \(G\) 作用在集合 \(X\) 上，\(x \in X\)，存在双射：

\[\begin{aligned} \phi:&G/Stab(x) \rightarrow Gx\\ &gStab(x) \rightarrow g\star x \end{aligned} \]

\(\phi\) 是良定义的双射。

BurnSide 定理

设 \(G\) 作用在群 \(G\) 上，记 \(X/G\) 表示 \(\{Gx | x \in G\}\)，\(X^g\) 表示 \(\{x| g \star x = x\}\)，则：

\[|X/G|=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g| \]

证明：

考虑每一个轨道对 \(|X/G|\) 的贡献，于是有：

\[\begin{aligned} |X/G|&=\sum_{x \in X}\dfrac{1}{|Gx|}\\ &=\sum_{x \in X}\dfrac{|Stab(x)|}{|G|}\\ &=\dfrac{1}{|G|}\sum_{x \in X}\sum_{g \in G}[g \star x =x]\\ &=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \end{aligned} \]

其中第 \(2\) 行的转化依据是轨道-稳定化子定理。