30、不确定系统的反馈控制：稳定性与性能分析

不确定系统的反馈控制：稳定性与性能分析

1. 鲁棒性分析方法的起源

当代鲁棒性分析方法源于 20 世纪 60 年代从输入 - 输出角度对非线性系统反馈稳定性的研究。这其中包括小增益定理以及基于无源性的方法，后者在俄罗斯学派中被特别强调，并被称为“绝对稳定性理论”。在相关文献中，已经出现了用于分析各种组件非线性稳定性的“乘数”方法，这些方法是本章所考虑的 μ - 缩放的直接前身。

将这些方法用于研究不确定系统的想法可以追溯到早期的文献，但直到 20 世纪 80 年代后期，鲁棒性开始受到重视，并且与 H∞ 范数的联系被指出后，该主题才得到广泛研究。特别是，以 Δ 块形式对不确定性的形式化出现在一些论文中，同时引入了矩阵结构奇异值来研究时不变不确定性。随后，大量的研究活动致力于其研究以及将其扩展到混合实参数和线性时不变（LTI）不确定性。

2. 结构化奇异值计算的挑战与突破

计算任意数量块的结构化奇异值是一项具有挑战性的任务，已被证明是 NP 难问题。不过，在 20 世纪 90 年代初，发现凸上界有其自身的解释，这带来了好消息。最初的结果来自使用 L∞ 信号范数的鲁棒控制并行理论，研究表明在 L∞ 诱导范数下的缩放小增益条件对于分析任意时变算子是精确的。这些结果引发了对 L2 范数类似问题的研究，进而证明了相关定理。

3. 反馈控制系统的问题提出

我们将反馈控制器综合和不确定系统分析这两个独立的问题结合起来，形成一个既涉及不确定性又涉及控制的共同问题。该问题由一个反馈系统图表示，其中 G 是广义对象，描述了系统不确定性的依赖关系，扰动 Δ 属于一个结构化球，K 表示控制器。

我们假设 G 和 K 是