曲线的极坐标方程输入法 | Desmos 玩法系列 02

前情概要

关于极坐标的相关知识，请参阅 极坐标系相关、求曲线的极坐标方程，由于高考已经删除了极坐标的相关内容，故不从理论上研究曲线的其他方程向极坐标方程的转化，本博文只锁定给定的极坐标方程在 Desmos 中如何输入的问题。

在极坐标章节中，我们知道，极坐标方程的形式是这样的，\(\rho=\rho(\theta)\)，但是移植到软件 Desmos 中，统一用 \(r\) 表示极径 \(\rho\)，用 \(\theta\) 表示极角，即 \(r=r(θ)\) 表示的是极坐标方程。

软件 Desmos 还有一个很赞的功能，就是曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程能同台竞技。

具体案例

使用说明：点击极坐标方程前边的显示按钮，对应的极坐标方程的曲线就显示出来了，那是个显示/隐藏切换键。点击文件夹前边的倒三角符合，这个文件夹下的所有内容，自动收起。在下边的分类详述中，我就结合框架中涉及的各种曲线做出专门的解释。

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分类详述

1️⃣：各种直线的极坐标方程

➊ 特殊直线，经过点 \((2,0)\) 且和极轴垂直的直线 ：\(\rho\)\(\cdot\)\(\cos\)\(\theta\)\(=\)\(2\)，在 \(Desmos\) 中输入 \(r\cos\theta=2\) 或 \(r=2\sec\theta\) 或 \(r\)\(=\)\(\cfrac{2}{\cos\theta}\)，这三个式子是等价的，后边尽量少些，不在啰嗦；稍微引申一下，高中阶段的极坐标方程学习的很浅，如果在软件中输入 \(r\)\(\cos(\theta+m)\)\(=\)\(2\)，\(m\) 是滑块，此时你会发现，动态直线就是极坐标中的圆 \(\rho=2\) 的切线。

➋ 特殊直线，经过点 \((3,\cfrac{\pi}{2})\) 且和极轴平行的直线，在 \(Desmos\) 中输入 \(r\sin\theta=3\)，极角 \(\theta\) 的范围默认是 \(0\leq \theta\leq \pi\)，如果修改左右端点，直线可能会变成线段，请自行探索。

➌ 一般直线，经过点 \((2,0)\) ，极角为 \(\theta=-\cfrac{\pi}{6}\) 的直线，在 \(Desmos\) 中输入 \(r\sin(\theta+\cfrac{\pi}{6})=1\) .

2️⃣：各种圆的极坐标方程

➊ 特殊的圆，以极点为圆心，半径为 \(r=3\) 的圆，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=3\)，如果要让圆变为固定半径的圆，只需要限制 \(3\leq r\leq 3\) .

➋ 特殊的圆，经过极点，圆心为点 \((1,0)\)，半径为 \(r=1\) 的圆，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=2\cos\theta\) .

➌ 特殊的圆，经过极点，圆心为点 \((1,\cfrac{\pi}{2})\)，半径为 \(r=1\) 的圆，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=2\sin\theta\) .

➍ 一般的圆，经过极点，圆心为点 \((1,\cfrac{\pi}{3})\)，半径为 \(r=1\) 的圆，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=2\cos(\theta-\cfrac{\pi}{3})\) .

3️⃣：各种椭圆的极坐标方程，离心率 \(0<e<1\)

➊ 特殊的椭圆，以极点为中心，长半轴为 \(2\) ，短半轴为 \(\sqrt{2}\) 的椭圆，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=\sqrt{\cfrac{4}{1+\sin^2\theta}}\)，限制 \(0\leq\theta\leq2\pi\) .

➋ 采用 \(r=\cfrac{ep}{1-e\cos\theta}\) 来作椭圆，此时极点在椭圆的一个焦点，极轴沿长轴正方向，\(r\) 为极径，\(\theta\) 为极角，\(e\) 为离心率，\(p\) 为焦点到对应准线的距离，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=\cfrac{0.5\times3}{1-0.5\cos\theta}\) .

4️⃣：双曲线的极坐标方程，离心率 \(e>1\)

➊ 采用 \(r=\cfrac{ep}{1-e\cos\theta}\) 来作双曲线，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=\cfrac{2\times3}{1-2\cos\theta}\) .

5️⃣：抛物线的极坐标方程，离心率 \(e=1\)

➊ 采用 \(r=\cfrac{ep}{1-e\cos\theta}\) 来作抛物线，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=\cfrac{1\times3}{1-1\cos\theta}\) .

6️⃣：圆锥曲线的统一极坐标方程，离心率 \(m\)

➊ 采用 圆锥曲线的统一极坐标方程 \(r=\cfrac{ep}{1-e\cos\theta}\) 来作，在 \(Desmos\) 中输入 \(r=\cfrac{m\times3}{1-m\cos\theta}\)，\(m\) 为滑块 .

相关延申

• 感觉玫瑰线非常漂亮，所以专门贴出来，供大家欣赏。