几何引擎：设计原则、关键组件

本文以笔记的形式，记录笔者几何引擎开发的心得。

注1：限于研究水平，分析难免不当，欢迎批评指正。

注2：文章内容会不定期更新。

壹、微分几何

一、 基础

1.1 曲面的基本形式（Fundamental Forms of Surfaces）

设曲面参数方程，曲面法线为，则有，

曲面的第一基本形式：；

曲面的第二基本形式：；

曲面的第三基本形式：;

其中，

为曲面第一基本量；

为曲面第二基本量；

为曲面第三基本量。

令，，则有

• 曲线高斯曲率为；
• 曲线平均曲率为；
• 主曲率的最大值和最小值满足特征值方程；
• 第三基本形式可完全用第一基本形式与第二基本形式表示，即

1.2 仿射变换 (Affine Transformation)

给定非奇异矩阵，列向量，定义变换为仿射变换。

写成齐次形式，则有

从几何上看，仿射变换是在线性变换的基础之上加上一个平移变换。

仿射变换具有以下性质：

• 共线点依旧共线，平行线依旧平行
• 共线向量等比例缩放

1.3 Hausdorff距离

贰、计算几何

叁、CAGD

一、 基础

1.1 Bézier曲线

给定个控制点，Bézier曲线定义为，

，

其中，

为Bernstein多项式

Bézier曲线具有如下性质，

• 曲线通过与，起点切向方向与一致，重点切线方向与；
• Bézier曲线的一阶导数为；
• Bézier曲线落在控制点构成的凸包内

1.2 有理Bézier曲线

给定个控制点，有理Bézier曲线定义为，

其中，

为Bernstein多项式，为权函数。

1.3 B样条曲线（B-SplineCurve）

给定个控制点，个非递减节点构成节点向量(knot vector)，则B样条曲线定义为，

，

其中，

是次的 B 样条基函数，可由下面递推公式得到，

B样条曲线具有以下性质，

• 局部性：改变一个控制点只会影响曲线的局部形状；
• 连续性：B样条曲线具有连续性，其中是knot向量中重复次数；
• 凸包性：B样条曲线始终位于其控制点所构成的凸包内。

1.4 NURBS曲面(Non-Uniform Rational B-Splines)

给定个控制点，NURBS曲线定义为，

给定个控制点，NURBS曲面定义为，

其中，

为方向的次B样条基函数；

为方向的次B样条基函数；

为权重因子。

NURBS曲面具有以下性质，

• 局部性：改变一个控制点只影响曲面的局部形状；
• 连续性：沿方向在重复度为的节点处具有连续；沿方向在重复度为的节点处具有连续；
• 凸包性：NURBS曲面始终位于其控制点所构成的凸包内；
• 精确性：可以精确表示任何曲面；
• 可调性：通过调整控制点的位置和权重因子，可以修改曲线形状，同时不破坏曲面连续性；

肆、计算机图形学

伍、CAD

计算机辅助设计(Computer Aided Design, CAD)是指利用计算机及设备帮助设计人员进行设计工作。而数据管理、几何引擎、约束求解器、渲染、用户交互则是整个CAD软件最为重要的技术底座。

CAD引擎最为核心的功能其实主要有两个：第一个是几何、拓扑等信息的表示问题，也就是在计算机中如何表示物理世界中的实体；第二个是如何生成模型的问题，也就是采用合适的算法生成对应的模型表示。

一、曲线曲面造型

薄壳在飞机、船舶、汽车等设计中有着广泛的工程应用，因此，高质量的曲线曲面造型技术具有极其重要的工程价值。

二、实体造型

2.1 CSG (Constructive Solid Geometry)

2.2 B-Rep (Boundary Representation)

三、特征造型

陆、软件开发

一、架构设计

1.1 研究素材

1.1.1 商用软件

1.1.2 开源软件

1.2 技术/非技术约束、设计原则

1.3 主要模块

书籍

• Kang Lan. CAD/CAM Principles and Applications. China Machine Press, 2016.
• Hoffmann C M. Geometric and Solid Modeling[J]. Morgan Kaufmann, 1989.
• Michael E. Mortenson. Geometric Modeling. John Wiley & Sons, 1997.
• Gerald Farin, Dianne Hansford. The Essentials of CAGD. A K Peters/CRC Press, 2000.
• Mäntylä, Martti. An introduction to solid modeling[J].British Journal of Educational Technology, 1988, 8(3):165–175.
• Shah J J , Mantyla M . Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications[M]. 1995.
• Joan-Arinyo R , Soto A ,Sabastià Vila. Geometric Constraint Solving[J].Inteligencia Artificial, 1995, 7(20).
• 孙家广. 计算机辅助设计技术基础. 清华大学出版社, 2005.
• 孙家广. 计算机辅助几何造型技术. 清华大学出版社,1990
• 梅向明. 微分几何. 高等教育出版社, 2019.
• Mark de Berg. Computational Geometry: algorithms and applications (3rd Edition).
• 汪嘉业. 计算几何及应用. 科学出版社, 2011.
• 周培德. 计算几何: 算法设计与分析. 清华大学出版社, 2008.
• 王国瑾. 计算机辅助几何设计. 高等教育出版社, 2001.
• 寿华好. 计算机辅助几何设计导论. 科学出版社, 2023.
• 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条. 高等教育出版社, 2013.
• 莫蓉. 计算机辅助几何造型技术(第二版). 科学出版社, 2009.
• 万能. 计算机辅助几何造型技术(第四版). 科学出版社, 2020.
• Hearn D. Computer graphics.
• 曹岩. CAD基础理论及应用. 西安交通大学出版社, 2011.
• 杜平安. CAD/CAE/CAM方法与技术. 清华大学出版社, 2010.
• 詹海生. 基于ACIS的几何造型技术与系统开发[M].清华大学出版社,2002.

文献

网络

OpenCASCADE