傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的定义及关系

一、 三种变换的定义

1. 连续时间信号的傅里叶变换（FT）

针对绝对可积的连续时间信号f ( t ) f(t)f(t)，傅里叶变换建立了时域与频域的直接映射，核心是将信号分解为不同频率的正弦 / 余弦分量的叠加。

• 正变换
  F ( j ω ) = F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dtF(jω)=F[f(t)]=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt
  其中，ω \omegaω为角频率（单位：rad/s \text{rad/s}rad/s），F ( j ω ) F(j\omega)F(jω)是f ( t ) f(t)f(t)的傅里叶变换，表征信号在不同频率下的幅度和相位分布。
• 逆变换
  f ( t ) = F − 1 [ F ( j ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(j\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omegaf(t)=F−1[F(jω)]=2π1​∫−∞∞​F(jω)ejωtdω
• 适用条件
  信号需满足狄利克雷条件，核心是绝对可积：∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty∫−∞∞​∣f(t)∣dt<∞。对于不满足条件的信号（如直流信号、阶跃信号），可引入冲激函数δ ( ω ) \delta(\omega)δ(ω)扩展傅里叶变换的应用范围。

2. 连续时间信号的拉普拉斯变换（LT）

拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，通过引入复频率s = σ + j ω s=\sigma+j\omegas=σ+jω解决了非绝对可积信号的变换问题，是分析线性时不变（LTI）系统的核心工具。

• 正变换（单边拉普拉斯变换，工程常用）
  F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dtF(s)=L[f(t)]=∫0∞​f(t)e−stdt
  其中，s = σ + j ω s=\sigma+j\omegas=σ+jω为复频率，σ \sigmaσ是实部，决定积分收敛性；F ( s ) F(s)F(s)是f ( t ) f(t)f(t)的拉普拉斯变换。
• 逆变换
  f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s ( t ≥ 0 ) f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}\,ds \quad (t\ge0)f(t)=L−1[F(s)]=2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​F(s)estds(t≥0)
• 收敛域（ROC）
  使积分收敛的所有s ss的实部σ \sigmaσ范围，是拉普拉斯变换的关键属性 —— 同一F ( s ) F(s)F(s)对应不同 ROC 时，逆变换的时域信号不同。

3. 离散时间信号的Z变换（ZT）

Z 变换是离散域的拉普拉斯变换，针对离散时间序列f ( k ) f(k)f(k)（k = 0 , 1 , 2 , … k=0,1,2,\dotsk=0,1,2,…），是分析离散线性时不变（DLTI）系统的核心工具。

• 正变换（单边 Z 变换，工程常用）
  F ( z ) = Z [ f ( k ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) z − k F(z)=\mathcal{Z}[f(k)]=\sum_{k=0}^{\infty}f(k)z^{-k}F(z)=Z[f(k)]=∑k=0∞​f(k)z−k
  其中，z = r e j θ z=re^{j\theta}z=rejθ为复变量，r 是模，θ \thetaθ是辐角（对应离散角频率）；F ( z ) F(z)F(z)是f ( k ) f(k)f(k)的Z 变换。
• 逆变换
  f ( k ) = Z − 1 [ F ( z ) ] = 1 2 π j ∮ C F ( z ) z k − 1 d z f(k)=\mathcal{Z}^{-1}[F(z)]=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}F(z)z^{k-1}\,dzf(k)=Z−1[F(z)]=2πj1​∮C​F(z)zk−1dz
  其中，C 是 Z 平面上包含F ( z ) F(z)F(z)所有极点的逆时针闭合曲线。
• 收敛域（ROC）
  使级数收敛的所有 z 的模 r 范围，同样决定逆变换的唯一性。

二、 三种变换的关系

三种变换的本质是不同域下对信号 / 系统的描述，核心联系在于复频率的特殊取值和域的映射关系。

1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系

拉普拉斯变换是傅里叶变换的复频域扩展，傅里叶变换是拉普拉斯变换在σ = 0 \boldsymbol{\sigma=0}σ=0时的特例：

• 当s = j ω s=j\omegas=jω（即复频率实部σ = 0 \sigma=0σ=0），若F ( s ) F(s)F(s)的收敛域包含 s 平面的虚轴( Re ( s ) = 0 (\text{Re}(s)=0(Re(s)=0），则F ( j ω ) = F ( s ) ∣ s = j ω F(j\omega)=\left.F(s)\right|_{s=j\omega}F(jω)=F(s)∣s=jω​
• 物理意义：拉普拉斯变换分析的是信号在复频域的特性，而傅里叶变换仅分析纯频域（无衰减 / 增益）的特性。
• 适用场景差异：
  • 傅里叶变换：适用于稳定系统的频域分析（如滤波、频谱分析）。
  • 拉普拉斯变换：适用于不稳定 / 临界稳定系统的时域分析（如暂态响应、系统极点分析）。

2. 傅里叶变换与 Z 变换的关系

Z 变换是离散域的傅里叶变换推广，离散时间傅里叶变换（DTFT）是 Z 变换在∣ z ∣ = 1 \boldsymbol{|z|=1}∣z∣=1时的特例：

• 离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义为F ( e j θ ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k ) e − j θ k F(e^{j\theta})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)e^{-j\theta k}F(ejθ)=∑k=−∞∞​f(k)e−jθk其中，θ = ω T s \theta=\omega T_sθ=ωTs​为离散角频率( T s (T_s(Ts​是采样周期）。
• 当z = e j θ z=e^{j\theta}z=ejθ（即 Z 平面的单位圆，∣ z ∣ = 1 |z|=1∣z∣=1），若F ( z ) F(z)F(z)的收敛域包含单位圆，则F ( e j θ ) = F ( z ) ∣ z = e j θ F(e^{j\theta})=\left.F(z)\right|_{z=e^{j\theta}}F(ejθ)=F(z)∣z=ejθ​
• 连续 FT 与离散 DTFT 的联系：对连续信号f ( t ) f(t)f(t)采样得到f ( k T s ) f(kT_s)f(kTs​)，其 DTFT 是f ( t ) f(t)f(t)傅里叶变换的周期延拓，这是采样定理的数学基础。

3. 拉普拉斯变换与 Z 变换的关系

两者是连续域与离散域的对应关系，核心通过采样过程建立联系：

• 对连续信号f ( t ) f(t)f(t)进行冲激采样，得到采样信号
  f s ( t ) = f ( t ) ∑ k = 0 ∞ δ ( t − k T s ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k T s ) δ ( t − k T s ) f_s(t)=f(t)\sum_{k=0}^{\infty}\delta(t-kT_s)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT_s)\delta(t-kT_s)fs​(t)=f(t)∑k=0∞​δ(t−kTs​)=∑k=0∞​f(kTs​)δ(t−kTs​)。
• 对f s ( t ) f_s(t)fs​(t)求拉普拉斯变换：F s ( s ) = L [ f s ( t ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k T s ) e − s k T s F_s(s)=\mathcal{L}[f_s(t)]=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT_s)e^{-skT_s}Fs​(s)=L[fs​(t)]=∑k=0∞​f(kTs​)e−skTs​
• 对比 Z 变换定义，令z = e s T s z=e^{sT_s}z=esTs​，则F ( z ) = F s ( s ) ∣ s = 1 T s ln ⁡ z F(z)=\left.F_s(s)\right|_{s=\frac{1}{T_s}\ln z}F(z)=Fs​(s)∣s=Ts​1​lnz​
• 物理意义：复频率 s 与复变量 z 的映射关系z = e s T s z=e^{sT_s}z=esTs​，将 s 平面的左半平面（σ < 0 \sigma<0σ<0）映射到 Z 平面的单位圆内（∣ z ∣ < 1 |z|<1∣z∣<1），这是判断离散系统稳定性的核心依据。

三、 核心关系总结表