【每日一题】LeetCode 1382. 将二叉搜索树变平衡

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给你一棵二叉搜索树，请你返回一棵平衡后的二叉搜索树，新生成的树应该与原来的树有着相同的节点值。如果有多种构造方法，请你返回任意一种。

如果一棵二叉搜索树中，每个节点的两棵子树高度差不超过 \(1\)，我们就称这棵二叉搜索树是平衡的。

结点数 \(n\) 满足 \(1 \le n \le 10^4\)。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:TreeNode* balanceBST(TreeNode* root) {}
};

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我们知道二叉搜索树的性质是：任意结点左子树上的所有节点值均小于该结点值，右子树上的所有结点值均大于该结点值。

考虑到这一点，不难想到用中序遍历（左子树 - 根结点 - 右子树）的顺序遍历二叉搜索树，并保存依次访问到的权值到一个临时数组。这样得到的临时数组一定是升序的。

得到升序的数组后，利用其构造平衡二叉树。平衡二叉树的高度差不超过 \(1\)，因此我们希望每个结点的左右子树大小相差不大。

考虑这样分配左右子树：当前数组为 \(\left[a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}\right]\)，将 \(a_{\lfloor n / 2 \rfloor}\) 作为根结点，较小的数构成的数组 \(\left[a_0, a_1, \cdots, a_{\lfloor n / 2 \rfloor - 1}\right]\) 作为左子树对应权值，较大的数构成的数组 \(\left[a_{\lfloor n / 2 \rfloor + 1}, a_{\lfloor n / 2 \rfloor + 2}, \cdots, a_{n - 1}\right]\) 作为右子树对应权值。上述数组若不存在，则对应子树为空。

这样的方式比较符合直觉，接下来证明其正确性。

先证明这样的二叉树是二叉搜索树。从上述的构造方式来看，这是显然的。

再证明，这棵二叉搜索树是平衡的。只考虑剩下的数的个数，记 \(h_{i}\) 为有 \(i\) 个数时树的高度。

显然，\(h_{0} = 0\)，且 \(n \ge 1\) 有递推式：

\[h_{n} = \max \left( h_{\lfloor n / 2 \rfloor}, h_{n - 1 - \lfloor n / 2 \rfloor} \right) + 1 \]

考虑到 \(\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil = \lfloor n / 2 \rfloor\)，则上式可改写为：

\[h_{n} = \max \left( h_{\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil}, h_{\lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor} \right) + 1 \]

对此我们指出，\(h_{n} = \lceil \log_2{\left(n + 1\right)} \rceil\)，下面用归纳法证明这一点。

先验证 \(n = 0\) 时，\(h_0 = \lceil \log_2 \left(0 + 1 \right) \rceil = 0\)，成立；\(n = 1\) 时，\(h_1 = \lceil \log_2 \left(1 + 1 \right) \rceil = 1\)，成立。

假定 \(n \le k - 1\) 时 \(h_{n} = \lceil \log_2{\left(n + 1\right)} \rceil\)，下证明 \(n = k \ge 2\) 时也成立。

由于 \(\lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor \le \lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil \le \lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor + 1 \le k - 1\)，且 \(\lceil \log_2 \left(n + 1\right) \rceil\) 在 \(n\) 变化 \(1\) 时至多变化 \(1\)，则必然有：

\[\log_2 \lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor \le \log_2 \lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil \le \log_2 \lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor + 1 \]

即：

\[| \log_2 \lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor - \log_2 \lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil | \le 1 \]

回忆 \(h_{\lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor} = \lceil \log_2 \left[ \lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor + 1 \right] \rceil\) 和 \(h_{\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil} = \lceil \log_2 \left[ \lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil + 1 \right] \rceil\)，可得到：

\[| h_{\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil} - h_{\lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor} | \le 1 \]

则其是平衡的。

又：

\[\begin{aligned} h_{n} &= \max \left( h_{\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil}, h_{\lfloor \left(n - 1\right) / 2 \rfloor} \right) + 1 = h_{\lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil} + 1 \\ &= \lceil \log_2 \left[ \lceil \left(n - 1\right) / 2 \rceil + 1 \right] \rceil + 1 = \lceil \log_2 \lceil \left(n + 1\right) / 2 \rceil \rceil + 1 \\ &= \lceil \log_2 \lceil \left(n + 1\right) / 2 \rceil + 1\rceil = \lceil \log_2 \left[2\lceil \left(n + 1\right) / 2 \rceil \right]\rceil \\ &= \lceil \log_2 \left(n + 1\right)\rceil \end{aligned} \]

证毕。

于是正确性得到保证，代码见下。注意判断子树是否为空。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:void constructArray(TreeNode* root, std::vector<int>& arr) {if (root == nullptr) {return;}constructArray(root->left, arr);arr.push_back(root->val);constructArray(root->right, arr);}void constructTree(TreeNode* altRoot, const std::vector<int>& arr, const int l, const int r) {if (l + 1 == r) {altRoot->val = arr[l];return;}int m = l + (r - l) / 2;altRoot->val = arr[m];if (m > l) {altRoot->left = new TreeNode();constructTree(altRoot->left, arr, l, m);}if (r > m + 1) {altRoot->right = new TreeNode();constructTree(altRoot->right, arr, m + 1, r);}}TreeNode* balanceBST(TreeNode* root) {std::vector<int> arr;constructArray(root, arr);TreeNode *altRoot = new TreeNode();constructTree(altRoot, arr, 0, (int)arr.size());return altRoot;}
};

时间复杂度和空间复杂度均为 \(O(n)\)。

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