[数字信号处理-入门] 频域分析
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文章目录
- [数字信号处理-入门] 频域分析
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- DTFT和DFT
- 1. DTFT
- 2. DFT
- ZT -> DTFT -> DFT
DTFT和DFT
1. DTFT
X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}X(ejw)=n=−∞∑∞x(n)e−jwn
DTFT的周期是2 π 2\pi2π,w ∈ [ 0 , 2 π ) w \in [0,2\pi)w∈[0,2π)
2. DFT
X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k x ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) e − j 2 π N k n X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} \\ x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}X(k)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnkx(n)=N1k=0∑N−1X(k)e−jN2πkn
将DTFT的w ww做N等分取样, 其取值就是DFT
也可以说是ZT的单位圆的N等分点
ZT -> DTFT -> DFT
| ZT | DTFT | DFT |
|---|---|---|
| H ( z ) H(z)H(z) | H ( e j w ) H(e^{jw})H(ejw) | X ( k ) X(k)X(k) |
| ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}∑n=−∞∞x(n)z−n | ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}∑n=−∞∞x(n)e−jwn | ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π N n k \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}∑n=0N−1x(n)e−jN2πnk |