Qoj2570. Maximal Subsequence
题目描述
给定一个包含 \(n\) 个整数的数组 \(a\)。序列的美观度定义为该序列的最长递增子序列的长度。要求找出数组 \(a\) 的一个子序列，使得该子序列的美观度小于整个数组 \(a\) 的美观度，并且该子序列的长度尽可能大。
转化题意，找出子序列等价于在原序列上删数，所以问题等价于删去最少的数，使新序列的LIS长度减小。
首先，转化为最小割问题。设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的LIS的长度。当\(f_i=f_j+1\) 且 \(j<i\) 时，\(i\) 可以放在LIS中，所以 \(j\) 向 \(i\) 连边。当 \(f_i=l(LIS长度)\) 时，\(i\) 向 \(T\) 连边，当 \(f_i=1\) 时，\(j\) 向 \(S\) 连边。
考虑如何表示删点，将每个点拆开，变成 \(l_i,r_i\) ，原来的建图变为 \((r_j,l_i,inf)\)，两个点之间连1，即 \((l_i,r_i,1)\)。
最小割值等于最大流，所以我们就要求出这张图的 \(S \to T\) 的最大流。这就是选择尽可能多的 \(S \to T\)的路径。