洛必达法则：若 \(f(x)\) 在 \(a\) 附近可导，\(g(x)\) 在 \(a\) 附近可导，且 \(f(a) = 0,g(a) = 0\) 或 \(f(a) = \infty,g(a) = \infty\)，则有：
\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}
\]
当然，这个极限也可以是 \(x\to \infty\) 或 \(x\to -\infty\)。
若 \(f'(x)= 0,g'(x) = 0\) 或 \(f'(x) = \infty,g'(x)=\infty\)，且满足可导性的话，则可以继续使用。如果一直这么下去，直至不满足条件，极限还不存在的话，则说明洛必达法则对这个式子不适用。
证明：
当 \(f(a) = 0,g(a) = 0\) 时，我们有
\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}
\]
根据柯西中值定理，如果 \(x > a\)（\(x < a\) 也差不多），则存在一点 \(c\in(a, x)\)，使得
\[\dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}
\]
又因为当 \(x\to a\) 时， \(c\to a\) （因为 \(c\) 被夹在 \(x\) 和 \(a\) 中间）。
所以
\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c\to a}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}
\]
又因为 \(x\to a\) 导致 \(c\to a\) ，他们都趋向于 \(a\)，所以 \(c\) 和 \(x\) 在这里是等价的，即 \(c\) 和 \(x\) 可以互换。
所以
\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}
\]
未完待续。。。