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news 2026/3/26 18:06:30

对于一元二次方程(ax2+bx+c=0(ax^{2}+bx + c = 0(ax2+bx+c=0)（(a(a(aneq0$)），通常可以使用以下几种方法求解：

当方程可以化为形如((x−m)2=n((x - m)^{2}=n((x−m)2=n)（(n(n(ngeq0$)）的形式时，可直接开平方求解。

由((x−m)2=n((x - m)^{2}=n((x−m)2=n)，可得(x−m=(x - m=(x−m=pmsqrtnsqrt{n}sqrtn)，则$(x_{1}=m +sqrtnsqrt{n}sqrtn)，(x2=m−(x_{2}=m-(x2=m−sqrt{n}$)。
例如，对于方程(x2−4=0(x^{2}-4 = 0(x2−4=0)，可变形为(x2=4(x^{2}=4(x2=4)，直接开平方得(x=(x=(x=pm2)，即)，即)，即(x_{1}=2)，)，)，(x_{2}=-2$)。

步骤如下：

首先将二次项系数化为(1(1(1)，方程(ax2+bx+c=0(ax^{2}+bx + c = 0(ax2+bx+c=0)两边同时除以(a(a(a)，得到(x2+(x^{2}+(x2+frac{b}{a}x+fracca=0frac{c}{a}=0fracca=0)。
然后进行配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即(x2+(x^{2}+(x2+frac{b}{a}x + (fracb2a)2=(frac{b}{2a})^{2}=(fracb2a)2=(frac{b}{2a})^{2}-fraccafrac{c}{a}fracca)。
进一步变形为((x+((x+((x+frac{b}{2a})^{2}=fracb2−4ac4a2frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}fracb2−4ac4a2)。
当(b2−4ac(b^{2}-4ac(b2−4acgeq0)时，两边开平方可得)时，两边开平方可得)时，两边开平方可得(x+fracb2a=frac{b}{2a}=fracb2a=pmKaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: frac{sqrt{b^{2}-4ac}}{2a})，则)，则)，则(x=KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: frac{-bpmKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 16: sqrt{b^{2}-4ac}}̲{2a})。

对于一元二次方程(ax2+bx+c=0(ax^{2}+bx + c = 0(ax2+bx+c=0)（(a(a(aneq0)），其求根公式为)），其求根公式为)），其求根公式为(x=KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: frac{-bpmKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 16: sqrt{b^{2}-4ac}}̲{2a})，其中(((Delta=b^{2}-4ac$)，称为判别式。
根据(((Delta$)的值可以判断方程根的情况：
- 当(((Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根，)时，方程有两个不相等的实数根，)时，方程有两个不相等的实数根，(x_{1}=$frac{-b +KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 16: sqrt{b^{2}-4ac}}̲{2a})，(x2=(x_{2}=(x2=frac{-b-KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 16: sqrt{b^{2}-4ac}}̲{2a})。
- 当(((Delta = 0)时，方程有两个相等的实数根，)时，方程有两个相等的实数根，)时，方程有两个相等的实数根，(x_{1}=x_{2}=-fracb2afrac{b}{2a}fracb2a)。
- 当(((Delta<0)时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根)时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根)时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根(x=KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: frac{-bpmKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 19: …t{4ac - b^{2}}i}̲{2a})。

如果方程(ax2+bx+c=0(ax^{2}+bx + c = 0(ax2+bx+c=0)可以因式分解为((mx+p)(nx+q)=0((mx + p)(nx+q)=0((mx+p)(nx+q)=0)的形式，那么根据“若两个数的乘积为(0(0(0)，则至少其中一个数为(0(0(0)”，可得(mx+p=0(mx + p = 0(mx+p=0)或(nx+q=0(nx + q = 0(nx+q=0)。
分别解这两个一元一次方程，即(x1=−(x_{1}=-(x1=−frac{p}{m})，)，)，(x_{2}=-fracqnfrac{q}{n}fracqn)。
例如，对于方程(x2−3x+2=0(x^{2}-3x + 2 = 0(x2−3x+2=0)，因式分解为((x−1)(x−2)=0((x - 1)(x - 2)=0((x−1)(x−2)=0)，则(x−1=0(x - 1 = 0(x−1=0)或(x−2=0(x - 2 = 0(x−2=0)，解得(x1=1(x_{1}=1(x1=1)，(x2=2(x_{2}=2(x2=2)。