【数据分析】基于MATLAB的分数阶Calderón问题的马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)算法实现
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🔥 内容介绍
一、分数阶 Calderón 问题概述
（一）Calderón 问题的基本形式
Calderón 问题最初由阿根廷数学家 Alberto P. Calderón 在 1980 年提出，核心是通过边界测量数据来确定介质内部的电导率分布。从数学角度看，给定一个有界区域 Ω⊂Rn（通常 n=2 或 n=3，对应二维或三维空间），其边界为 ∂Ω。考虑椭圆型偏微分方程：∇⋅(γ∇u)=0在 Ω 内其中 γ(x) 是定义在 Ω 内的电导率函数，u 是电势。给定边界条件 u∣∂Ω=f，这里 f 是定义在边界 ∂Ω 上的已知函数。Calderón 问题旨在通过测量边界上的电流密度 γ∂ν∂u∣∂Ω（其中 ∂ν∂u 是 u 沿边界外法向 ν 的导数），来唯一确定电导率函数 γ(x) 在 Ω 内的分布。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
sigma = 0.001;
% technical parameters for discretization
M = 50; K=6*M; % number of discretization nodes
h=6/K; % discretization size
beta = 0.1; % learning rate
iter = 5000000; % number of MCMC iterations
J0 = 3; % resolution parameter
% bump function on (-3,-2) in vector form
phi = zeros(K-1,1);
for i=1:(M-1)
phi(i,1) = 10000*exp(1/((-3+i/M+5/2)^2 - (1/4)));
end
% ---------------------------- FORWARD PROBLEM ----------------------------
% -------------------- discretization of the equation ---------------------
% discretization of fractional Laplacian
A = zeros(K-1,K-1);
🔗 参考文献
[Pu-Zhao Kow]https://puzhaokow1993.github.io/homepage/), [Janne Nurminen](https://users.jyu.fi/~jasanurm/) and [Jesse Railo]https://sites.google.com/view/jesserailo), *Bayesian inference for the fractional Calderón problem with a single measurement*, 2025, [arXiv:2511.11068](https://arxiv.org/abs/2511.11068)
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