【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1908
【题目描述】
猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。
最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 ai>aj 且 i<j 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。
【输入格式】
第一行，一个数 n，表示序列中有 n 个数。
第二行 n 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 10^9。
【输出格式】
输出序列中逆序对的数目。
【输入样例】
6
5 4 2 6 3 1
【输出样例】
11
【说明/提示】
对于 25% 的数据，n≤2500。
对于 50% 的数据，n≤4×10^4。
对于所有数据，n≤5×10^5。
请使用较快的输入输出。
【算法分析】
● 本题数据个数上限为 5e5，但数据范围至 1e9，比较稀疏，故需进行离散化。
● 传统的逆序对统计需要两两比较数值大小，需要检查 C(n,2)=n(n-1)/2 对组合，时间复杂度为 O(n²)。而“树状数组+离散化”方法，不直接比较“数值”，而是通过树状数组去查询“位置”的统计信息。通过巧妙的数据结构转换，将问题降维为高效的前缀和查询，时间复杂度为 O(logn) 。
● 逆序对问题可以用“树状数组+离散化”实现，其核心原理是“通过离散化建立数值到位置的映射，再利用树状数组高效维护和查询这些位置上的计数信息，从而避免了直接的数值两两比较”。
（1）树状数组的作用：树状数组的每个位置代表离散化后的一个值（一个“桶”），记录每个数值出现的次数。通过查询前缀和，可以快速知道小于等于某个值的数有多少个。
（2）离散化的必要性：原始数据的数值范围很大，但实际不同的数值个数有限。离散化将大范围的数值映射到连续的整数下标，减少空间占用。
● 树状数组的概念、结构及实现：
● STL map 简介：
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
int a[maxn],c[maxn],t[maxn];
map<int,int> mp;
int n,cnt=1;int lowbit(int i) {return (-i)&i;
}void pointUpdate(int i,int val) {while(i<=n) {c[i]+=val;i+=lowbit(i);}
}LL preSum(int i) {LL s=0;while(i>0) {s+=c[i];i-=lowbit(i);}return s;
}int main() {cin>>n;for(int i=1; i<=n; i++) {cin>>a[i];t[i]=a[i];}sort(t+1,t+n+1);for(int i=1; i<=n; i++) { //discretizationif(mp.find(t[i])==mp.end()) {mp[t[i]]=cnt++;}}LL ans=0;for(int i=n; i>=1; i--) {ans+=preSum(mp[a[i]]-1);pointUpdate(mp[a[i]],1);}cout<<ans<<endl;return 0;
}/*
in:
6
5 4 2 6 3 1out:
11
*/
【参考文献】