高等数学-定积分（变限积分）

1. 微积分基本定理（变限积分的导数）

   若函数 \(f(t)\) 在包含 \(a\) 和 \(x\) 的区间上连续，则

   \(\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)

   （变上限积分的导数等于被积函数在上限处的值）

2. 补充

   • 函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则变限积分 \(\int_a^x f(t) \, dt\)（其中 \(x \in [a,b]\)）是 \(f(x)\) 在 \([a,x]\) 上的一个原函数。

   • 若为变下限积分（根据定积分性质 \(\int_x^b = -\int_a^x + \int_a^b\) 可推导），则

     \(\frac{d}{dx} \int_x^b f(t) \, dt = -f(x)\)

3. 一般变上限积分
   若 \(f(t)\) 连续，\(g(x)\) 可导，则

   \(\frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(t) \, dt = f(g(x)) \cdot g'(x)\)

4. 上下限均可变的情形（莱布尼茨公式）
   若 \(r(t)\) 连续，\(f(x)\)、\(g(x)\) 均可导，则

   \(\frac{d}{dx} \int_{f(x)}^{g(x)} r(t) \, dt = r(g(x)) \cdot g'(x) - r(f(x)) \cdot f'(x)\)