二阶行列式
定义
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
=
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
cramer法则
我们先通过一个二元线性方程组引入
\[\begin{cases}
ax + by = c \\
dx + ey = f
\end{cases}
\]
正常求解这样的方程是很麻烦的，但我们可以通过行列式将其解轻松的表示出来：
\[\begin{cases}
x = \frac
{\begin{vmatrix}
c & b \\
f & e
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
a & b \\
d & e
\end{vmatrix}} \\ \\
y = \frac
{\begin{vmatrix}
a & c \\
d & f
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
a & b \\
d & e
\end{vmatrix}}
\end{cases}
\]
这种对于分子单列替换求解的方法就应用了该法则。
三阶行列式
定义
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
=
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{23}a_{32}a_{11}
\]
特殊情况
上三角行列式
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22}a_{33}
\]
下三角行列式
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22}a_{33}
\]
对角线行列式
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22}a_{33}
\]