微分几何基本概念——辛(辛的)(辛几何)(Symplectic)
目录
1. symplectic[sim’plɛtik] adj.，n. 的词源
2. symplectic在数学中(几何中)的引用和含义
3. 相关数学概念
3.1 辛流形(symplectic manifold)
3.2 辛几何(symplectic geometry)
1. symplectic[sim’plɛtik] adj.，n.的词源
转写自古希腊语“συμπλεκτικός”，词义为“缠绕或编织在一起，连接的(twining or plaiting together,copulative)”，由 (σύν)sym-(together) + (πλέκειν)-pletic(to twine，to plait, braid, wind, twine，weave) 构成。其古希腊语的拉丁化形式为“symplekein ”。
adj.(1)(在解剖学和动物学上)指“鱼类头骨悬器中位于舌骨下颌骨和方骨之间的骨骼的别名”(Epithet of a bone of the suspensorium in the skull of fishes,between the hyomandibular and the quadrate bones.)(2) (在岩石学上)指“指岩石或其结构：两种不同矿物紧密交织在一起，尤其是一种矿物由于次生作用而在另一种矿物中呈蠕虫状生长。”(Of a rock or its texture: exhibiting an intimate intergrowth of two different minerals, esp. one where one mineral has a vermicular habit within the other as a result of a secondary action.)
n. (在解剖学和动物学上)指“耻骨”(the symplectic bone)。
2. symplectic在数学中(几何中)的引用和含义
两个世纪前“symplectic geometry”这个名称并不存在。查阅主流英语词典，你可能会发现“symplectic”指的是鱼头上的骨头(正如上文词源所述)。然而，数学中的“symplectic”一词是由Herman Weyl(1885年11月9日—1955年12月8日，德国数学家和理论物学家)于1939年创造的。他将拉丁语词根“complex”替换为相应的希腊语词根，以此来命名“symplectic group”。Weyl这样做既避免了该群与复数的概念混淆，也避免了如果沿用之前为了纪念Abel而起的“Abel线性群”这一名称所可能造成的诸多混淆。
在<<经典群>>(The Classical Groups)(1939年初版，1997年再版)这本书中, Weyl 写道：
The name "complex group" formerly advocated by me in allusion to line complexes, as these are defined by the vanishing of antisymmetric bilinear forms, has become more and more embarrassing through collision with the word "complex" in the connotation of complex number. I therefore propose to replace it by the corresponding Greek adjective "symplectic." Dickson calls the group the "Abelian linear group" in homage to Abel who first studied it.
我之前曾提倡使用“复群”这个名称，以指代由反对称双线性形式消失定义的线复形(line complexes)。然而，由于它与复数中“复(complex)”一词的含义相冲突，这个名称变得越来越不合适。因此，我建议用相应的希腊语形容词“symplectic”来代替它。Dickson将该群称为“Abel线性群”，以纪念最早研究它的Abel 。
即“symplectic”实际上是对“complex”的替代，用希腊词根“sym-”(together)替代拉丁词根“com-”(together)，而 “complex” 来自拉丁语“complecti ”，如果直接地替换，就成了“sym-plecti ”，改造得符合英语的习惯，词尾加c构成 -ic 后缀，就成了“symplectic”。即 “symplectic”一词是Herman Weyl于1939年提出的对“complex”一词的仿译(calque)。“symplectic group”这个名称可以指两个不同的但密切相关的数学群集合，分别表示为 Sp(2n,F) 和 Sp(n)，其中n为正整数，F为场(field)(通常是 C 或 R )，这种型定义在实数场或复数场等偶数维空间上 ，因此，这里的“symplectic”不是指“复的”，而更倾向于指“偶的(even)”。
3.相关数学概念
“symplectic”译为“辛或辛的”只是前缀“sym-”的音译，与含义毫不相关，而实际整个词在数学中的含义更倾向于“偶的(even),重的，双的，叠的”。
3.1辛流形(symplectic manifold)
辛流形(symplectic)是一个配备了辛型的光滑偶数维流形(辛型是一个闭合的、非退化的微分2型)。它是Hamilton力学的数学基础，代表了物理系统的相空间。其关键性质包括不存在局部不变量，使得局部坐标始终表现为规范的位置-动量对。
3.2辛几何(symplectic geometry)
辛几何是微分几何和拓扑学的一个分支，它研究具有称为辛结构的闭合、非退化2型光滑偶维流形。它是经典Hamilton力学的数学基础，侧重于保持有向面积(相空间体积)而不是距离或角度。