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如何通过已有的不等式推出更多不等式

news 2026/3/27 0:34:36

upd.26.2.28

生成不等式

本文内容：

函数视角下的可取等不等式从哪里来
Jensen不等式
积分生成不等式
复合生成不等式
加权生成不等式

为方便书写，本文出现的所有“函数”均指在定义域中连续可导的函数

Chapter1.函数视角下的可取等不等式:

对于不等式 $f(x) \leq g(x), x \in D,当且仅当 x = x_0时取等$

本质上是刻画了$在x \in D$内,$f(x)$在$g(x)$下方(废话),但是对于$(x_0,f(x))$这个点非常有意思，他是两个函数相切的点

所以从几何意义上来看便是在$x \in D$内，$f(x)$与$g(x)$曲线在$x=x_0$处相切，且$g(x)$一直在$f(x)$上方

理解了这一点，后文的内容便会好理解很多

Chapter2. Jensen不等式

$Jensen$不等式刻画的是切线与凸函数的关系，从切线视角来看：

若$f(x)$在$x \in D$内是上(下)凸函数，则$f(x)$一定在其切线的上(下)侧

同时，其代数表达式其实是想表达的是割线与凸函数的关系:

若$f(x)$在$x \in D$内是上(下)凸函数，在其某条割线$l_0$上取一点$x_0$,总有$f(x_0) \leq(\geq)l_0(x_0)$

这里给出$Jensen$不等式的代数写法:

若f(x)为下凸函数，则有:
$f(\sum a_ix_i) \leq \sum a_if(x_i)$

上凸函数同理.

在高考数学中该定理不能直接用，但是你可以通过上述函数与切线的关系设出切线方程，并与函数作差证明,这里略

Chapter3. 积分生成不等式

给出广为人知的不等式:
$lnx \leq x - 1$(上凸函数与切线的关系)
我们可以利用积分对它进行复杂化
过程如下：
$\int lnxdx $ ~ $\int (x-1)$

即

$x(lnx -1) + C_1$ ~ $\frac{x^2}{2} -x + C_2$

由$C_1,C_2$是常数，进一步化简：

$x(lnx -1) $ ~ $\frac{x^2}{2} -x + C_3$

通过调控$C_3$的取值，我们可以得出两函数的切点
如要令其在$x=1$处相切：
$-1$ ~ $-0.5 + C_3$ ，令$C_3=-0.5$
则有:
$x(lnx - 1)$ ~ $\frac{x^2}{2}-x-\frac{1}{2}$
同时除以$x$, 得到:
$lnx$ ~ $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}) ①$
画图可以验证：
$x\in(0,1],LHS \geq RHS$
$x\in(1,+\infin), LHS \leq RHS$
为什么会有$x=1$这条分割线呢？

原因是因为积分常数的引入
由常识我们可以知道一个幂函数增长速率必然大于指数函数
而积分常数调控了两函数的切点，使得切点左侧指数函数大于幂函数

我们可以对$①$继续进行积分生成操作，最终会得到一个非常紧的不等式。

对于$lnx \geq 1- \frac{1}{x}$进行积分生成，最终会得到常说的“飘带放缩不等式”

Chapter4. 复合生成不等式

考虑不用积分的方式使得$①$更紧
我们可以考虑复合一个与上凸函数让它更紧
这里我们选用$x = \sqrt x$
化简得到
$lnx$ ~ $\sqrt x - \frac{1}{\sqrt x}$
考虑取等条件$\sqrt x = 1,即 x = 1$
由$y = \sqrt x$与$y=x$同为增函数，可以得到：
$x\in(0,1],LHS \geq RHS$
$x\in(1,+\infin), LHS \leq RHS$