多维复高斯分布PDF表达式、协方差矩阵意义探究

背景

学习《空间信息论》时，对于高斯白噪情况下，雷达接收信号在已知距离和散射特性条件下，似然概率往往取决于噪声的PDF，即时间采样点为N的接收信号符合N维复高斯分布。欲推导的表达式，首先要使用N维复高斯分布的PDF表达式，这里对其中涉及的表达式以及协方差进行学习。

理论学习

求N维复高斯分布时涉及了一阶矩、二阶矩、协方差矩阵以及矩阵求逆的知识。下面简要说明。

矩

在数学和统计学中，“矩”（Moment）是用来描述概率分布或一组数据特征的指标。一阶原点矩就是我们常说的数学期望（Expectation），或者简单理解为平均值。

对于离散随机变量

对于连续变量

算例中复数的一阶原点矩，是对实部和虚部分布取均值罢了。

二阶中心矩（方差 Variance）这是最常用的二阶矩，即随机变量与其均值之差的平方的期望。

协方差矩阵

假设我们有一组多维数据，包含个特征（或变量）。协方差矩阵是一个的方阵，其中的每个元素代表第个变量和第个变量之间的协方差：

在信号处理中，一般处理的信号均值为0，此时，协方差变为了互相关。另外，

，即：协方差 = 互相关 - 均值乘积。

当，相同时，，因此协方差矩阵形式通常写作：

公式推导

利用上面的结论，可以推导出5.5式。根据前面信号建模，等价于，复高斯白噪下满足N维高斯分布，并且噪声功率（方差）为，噪声间相互独立。所以可以得协方差矩阵为

并且均值为0，代入公式即可得到第一行式子。化简得到第二行过程中，有一个线性代数中哈德曼得积有关的公式。

总结

N为复高斯分布PDF表达式，与协方差矩阵、逆矩阵等有关，另外，协方差矩阵矩阵为0时可以转换为相关矩阵、二阶矩，明确各概念之间的关系。