时间序列趋势检验方法

第一章 非平稳序列趋势检验

时间序列分析的一些主要方法是假定数据样本是来自平稳和各态经历的随机过程，也就是它们的期望(均值、方差、相关性等)都不随时间的推移而变化，而且可以用时间平均来代替总体平均。然而，当任意一种平稳条件被破坏时就会出现非平稳。在实际情况中，经常出现三种非平稳过程 — 均值非平稳、方差非平稳和均值方差非平稳。
这里介绍一种均值或方差可能存在某种趋势的检验方法。首先将整个序列分成M段，然后求出各段的均值和方差。设该序列为y 1 , y 2 , ⋯ , y M y_1,y_2,\cdots,y_My1​,y2​,⋯,yM​。当出现y j > y i ( j > i , i = 1 , ⋯ , M − 1 ) y_j > y_i(j>i,i=1,\cdots,M-1)yj​>yi​(j>i,i=1,⋯,M−1)时定义y i y_iyi​的一个逆序，对于下标为i ii的已知y i y_iyi​，其逆序定义为与y i y_iyi​相应的逆序个数A i A_iAi​。逆序总数为
A = ∑ i = 1 M A i A=\sum_{i=1}^M{A_i}A=i=1∑M​Ai​
任意长度为 M 的随机序列逆序数 A 的期望
E ( A ) = M ( M − 1 ) 4 E(A)=\frac{M(M-1)}{4}E(A)=4M(M−1)​
例如序列{2，3，2，4，5，3}，对于y 1 = 2 y_1=2y1​=2有A 1 = 4 A_1=4A1​=4,对于y 2 = 3 y_2=3y2​=3有A 2 = 2 A_2=2A2​=2，还可以看出A 3 = 3 A_3=3A3​=3，A 4 = 1 A_4=1A4​=1，A 5 = 0 A_5=0A5​=0，总数A = 10 A=10A=10。M算出来的逆序数的期望值为 7.5 。如果真实逆序数处在± 2 \pm 2±2之内，则可接受"序列无趋势"的假设，否则拒绝假设。如果 A 很大，表明序列均值有上升趋势，A很小表示序列均值有下降趋势。
上述非平稳趋势检验对于单调的趋势有效，但在有些情况下具有局限性。检验序列中存在一种潜在趋势的非参数检验方法 — 游程检验（轮次检验）。在保持序列原有顺序的情况下，游程定义为具有相同记号的序列，这种记号把观察值分成为两个相互排斥的类。
例如序列的观察值为x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , N ) x_i(i=1,2,\cdots,N)xi​(i=1,2,⋯,N)，其均值为x ‾ \overline{x}x，用记号"+“表示x i ≥ x ‾ x_i\geq\overline{x}xi​≥x，用记号”-“表示x i < x ‾ x_i<\overline{x}xi​<x。按符号”+“和”-“的出现顺序将原始序列写成如下形式。例如
+ + + ⏟ 1 − ⏟ 2 + + ⏟ 3 − − ⏟ 4 + ⏟ 5 − − − − ⏟ 6 + ⏟ 7 \underbrace{+++}_1\underbrace{-}_2\underbrace{++}_3\underbrace{--}_4\underbrace{+}_5\underbrace{----}_6\underbrace{+}_71+++​​2−​​3++​​4−−​​5+​​6−−−−​​7+​​
共有”+“和”-“14个，分7个游程。每个游程的长短不重要。游程太多或太少都被认为是存在非随机性趋势。游程检验的原假设：样本数据出现的顺序没有明显的趋势。我们采样的统计量有：N 1 N_1N1​表示一种记号的出现总数；N 2 N_2N2​表示另一种记号的出现总数；r表示游程总数。其中，r是检验统计量，把N 1 N_1N1​、N 2 N_2N2​小于或等于15认为是小样本量，否则是大样本量。对于显著水平0.05的双边检验，附表给出游程总数r的上限和下限。如果r在界限内接受原假设，否则拒绝原假设。
例如有N=22的观察序列，其值超过均值的记为”+“；反之记为”-"，得符号序列为
+ + − − − + − − + + + + + − − + − − + + − + ++---+--+++++--+--++-+++−−−+−−+++++−−+−−++−+
因N 1 = 12 ( + ) N_1=12(+)N1​=12(+)、N 2 = 10 ( − ) N_2=10(-)N2​=10(−)和r = 11 r=11r=11，查表原假设接受域7 ≤ r ≤ 17 7\leq r \leq177≤r≤17，故序列没有潜在优势。
当N 1 N_1N1​、N 2 N_2N2​超过15时可认为是大样本，这时可以用正态来近似，即可利用正态分布表来定出检验得接受域和否定域。统计量为
z = r − μ r σ r z=\frac{r-\mu_r}{\sigma_r}z=σr​r−μr​​
μ r = 2 N 1 N 2 N + 1 \mu_r=\frac{2N_1N_2}{N}+1μr​=N2N1​N2​​+1
σ r = ( 2 N 1 N 2 ( 2 N 1 N 2 − N ) N 2 ( N − 1 ) ) 1 / 2 \sigma_r=(\frac{2N_1N_2(2N_1N_2-N)}{N^2(N-1)})^{1/2}σr​=(N2(N−1)2N1​N2​(2N1​N2​−N)​)1/2
N = N 1 + N 2 N=N_1+N_2N=N1​+N2​
对于α = 0.05 \alpha=0.05α=0.05的显著水平，如果∣ z ∣ ≤ 1.96 |z|\leq 1.96∣z∣≤1.96，则可接受原假设。

第二章 非平稳序列周期性检验