例题
已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，求\(f(x+3)\)的定义域.
结论
已知\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)，求\(f(h(x))\)的定义域.
套路：
① 由\(f(g(x))\)的定义域是\((a,b)\)得\(a<x<b\)；
② 由\(a<x<b\)求出\(g(x)\)的范围\(c<g(x)<d\)；
③ 令\(c<h(x)<d\)，求出不等式的解集便是答案.
例题解答
已知\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，求\(f(x+3)\)的定义域.
解 由\(f(x^2-1)\)的定义域是\((1,2)\)，得到\(1<x<2\)，
所以\(1<x^2<4⇒0<x^2-1<3\)，
令\(0<x+3<3\)，解得\(-3<x<0\),
故最后答案是\((-3,0)\).
细讲
要明白以上所讲的结论，我们要理解两点
(1)定义域的定义；
(2)\(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同(即套路中的第三步).
(1) 定义域的定义是“自变量x的取值范围”
(2) \(f(g(x))\)与\(f(h(x))\)中\(g(x)\)和\(h(x)\)的范围为什么相同
\(f\)它指的是一种对应关系，比如\(f:\sqrt{ }\)(开平方根)
\(f(x)\)的定义域，即\(y=\sqrt{x}\)的定义域，则求\(x≥0\)便可；
\(f(2x-1)\)的定义域，即\(y=\sqrt{2x-1}\)的定义域，则求\(2x-1≥0\)便可；
\(f(x^2-1)\)的定义域，即\(y=\sqrt{x^2-1}\)的定义域，则求\(x^2-1≥0\)便可.
所以\(f(x)、f(2x-1)、f(x^2-1)\)的定义域，
其中\(x，2x-1，x^2-1\)的范围都是\(≥0\)，是相同的.
有时候抽象函数较难理解，可以附上具体的解析式，会好理解些.