目录
- 次对角线n阶行列式
- 反对称矩阵、行列式
- 异乘变零定理
- 拉普拉斯定理
次对角线n阶行列式
\[\begin{vmatrix}& & &a_1 \\& &a_2 &* \\&... &* &* \\a_n &* &* &*
\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2...a_n\]
\[\begin{vmatrix}* &* &* &a_1 \\* &* &a_2 & \\* &... & & \\a_n & & &
\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2...a_n\]
\[\begin{vmatrix}& & &a_1 \\& &a_2 & \\&... & & \\a_n & & &
\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2...a_n\]
反对称矩阵、行列式
\(A_n\) 为反对称矩阵，则 \(A^T=-A\) ，其元素满足
\[a_{ij}=-a_{ji} \hspace{1em} i,j=1,2,...,n
\]
有结论：反对称矩阵行列式值永远非负，且 \(n\) 为奇数时，行列式值为 \(0\)
证：
\(n\) 为奇数时， \(A^T=-A\) , 此时 \(|A^T|=(-1)^n|A|=-|A|\)
\(\Longrightarrow |A^T|=|A|=-|A| \Longrightarrow |A|=0\)
\(n\) 为偶数时， |A|=0 时显然
给出命题：
异乘变零定理
\(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|\) 的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式的乘积之和等于零
\[a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ ... +a_{in}A_{kn}=0 \hspace{1em} (i \ne k)
\]
或
\[a_{1j}A_{1t}+a_{2j}A_{2t}+ ... +a_{nj}A_{nt}=0 \hspace{1em} (j \ne t)
\]
拉普拉斯定理
在 \(n\) 阶行列式中，任意取定 \(k\) 行（列） \((1 \le k \le n-1)\) 。则由这 \(k\) 行（列）元素所组成的一切 \(k\) 阶子式 \(N_1,N_2,...,N_t \hspace{1em} (t=C^k_n)\) 与它们对应的代数余子式 \(A_1,A_2,...,A_t\) 乘积之和等于行列式 \(D\) ，即
\[D=N_1A_1+N_2A_2+...+N_tA_t
\]
性质有：
有两方阵 \(A_{m\times m} , B_{n\times n}\)
\[\begin{vmatrix}A &C \\O &B
\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|\hspace{3em}\begin{vmatrix}A &O \\C &B
\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|\hspace{3em}\begin{vmatrix}A &O \\O &B
\end{vmatrix}=|A|\cdot|B|
\]
\[\begin{vmatrix}O &A \\B &C
\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|\cdot|B|\hspace{3em}\begin{vmatrix}C &A \\B &O
\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|\cdot|B|\hspace{3em}\begin{vmatrix}O &A \\B &O
\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|\cdot|B|
\]