公式内容
如果已经掌握教科书内容可以 跳过本部分。
万恶之源
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\]
和差角
\[\begin{aligned}
\cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha\\
\tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\
\end{aligned}
\]
\(\cos\) 同函数相乘，符号改变；\(\sin\) 异函数相乘，符号不变。
可得倍角
\[\begin{aligned}
\sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\cos 2\alpha&=2\cos^2\alpha-1\\&=1-2\sin^2\alpha\\
\tan 2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\
\end{aligned}
\]
\(\cos\) 倍角公式换元可得半角，相除得到 \(\tan\) 半角
\[\begin{aligned}
\cos\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\
\sin\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\
\tan\frac{\alpha}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\
\end{aligned}
\]
符号看具体角范围。注意 终边相同 与 半角终边相同 既不充分也不必要。
和差角发现和、差第二项符号相反，对应的相加减除 \(2\) 得
\[\begin{aligned}
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\
\sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\\
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\
\end{aligned}
\]
这叫积化和差。换元，得
\[\begin{aligned}
\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\end{aligned}
\]
如果要化简形式为 \(a\sin\alpha+b\cos\alpha\) 的式子，可以将其看成任意和差角公式，把 \(a,b\) 配成三角函数值，是为辅助角公式。
\[a\sin\alpha+b\cos\alpha=c\sin(x+\varphi),\quad
c=\sqrt{a^2+b^2},\,\cos\varphi=\frac{a}{c},\,\sin\varphi=\frac{b}{c}\\
\]
亦可转为 \(\cos\)，同理。
应用
公式本身都是比较好理解的，那么怎么用呢？
其实我自己都是随机乱做，做不出来就急眼即可。感觉还是要归纳一下一些更 general 的东西。
和差角与倍角
首先和差角是肯定要记的，个人认为并不难记。倍角用多了也容易记住。
关于使用，除了有很明显的和差形式，化简非特殊角三角函数值也可用到，这个比较容易忘。有的时候要大胆使用，暴力拆除。
从次数来看，如果可以用来将一次转二次，可能有化简效果。
半角
半角不用记，知道这个结构形式（\(1\pm \cos\) 状物，可能有分数之类的）即可，因题制宜。半角本质上是将倍角换元，因此做题时注意结构，可以直接代倍角。具体而言，如果有一个 \(1\) 的系数，可以吸收，同时变成二次。相当于等系数的零次和一次升成二次。
和差化积、积化和差
和差化积、积化和差也不用记，那么多背个蛋，知道有这个东西即可。用得不多，主要是改次数，用时可以现场手推。
本人用得比较少。这个主要也是改次数，一二次互换，因为是和差角推的。
辅助角
辅助角公式主要是理解，熟练之后尽量快。用处是合并同角三角函数值。
这是个好题啊
例 1 化简 \(\dfrac{1}{\tan\alpha}-\dfrac{1}{\sin\alpha}\)
题解（可以点开）
通分
\[\frac{\cos\alpha-1}{\sin\alpha}
\]
一次项导致分子是零次加一次，换
\[\frac{-2\sin\dfrac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}
\]
分数不是齐次（分子二次，分母一次），角也不是同一个，正好换分母
\[\frac{2\sin\dfrac{\alpha}{2}}{2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\tan\frac{\alpha}{2}
\]
例 2 \(\alpha\) 第三象限，\(\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=2\)，\(\sqrt{\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}=\_\_\_\_\_\)
这个题本身没什么难度，根据条件把 \(\tan,\sin,\cos\) 依次解一下，就可以直接带入了。
但是答案这个结构要很敏感，直接诱导一下就会变成半角公式。
答案是 \((\sqrt{10}-3)-(\sqrt{10}+3)=-6\)。
