光学像差与泽尼克多项式
在光学像差分析中，泽尼克系数是非常重要的一种光学像差分析工具。在介绍泽尼克系数之前，我们先简单介绍一下光学像差的概念。
光学像差
光学系统的像差（Aberrations）是指实际成像与理想光学模型（如近轴光学理论）之间的偏差，导致图像模糊、变形或色彩失真。这些偏差源于光线传播的物理限制和光学元件的设计缺陷。像差大致可以分为以下几类：
光学工程师也会把像差进一步分为高阶像差和低阶像差：
- 低阶像差：离焦（Defocus）、散光（Astigmatism）、倾斜（Tilt）
- 高阶像差：彗差（Coma）、球差（Spherical Aberration）、三叶草像差（Trefoil）等。
光学像差的表征
一般光学工程师会利用相位差图来表征光学像差，因为光本身具有波粒二象性，所以光线在光学系统中传播的时候，由于波的性质，光线会有衍射效应，而衍射效应导致光线通过光学系统的时候，会有一个光程差，这个光程差将引入额外的相位差，这个相位差可以反应光学像差。所以光学像差会用波前像差图来表征。不同的像差，其对应的波前相位差图也会不同。
但是，不同的光学系统的波前相位差图可能也有很多，而且可能也很复杂，有没有什么办法对光学像差做一个统一的分析呢。答案是肯定的，其中一种方式就是引入基函数。
空间中的向量基
在线性代数里面，我们以前都学习过空间基，比如二维空间的任何一点都可以表示为(x,y)(x, y)(x,y)的一个坐标点，这个坐标点本身可以看成是一个二维向量，在笛卡尔坐标系里，这个二维向量可以表示成两个标准基的线性加权：
r=(xy)=x(10)+y(01) r = \binom{x}{y} = x \binom{1}{0} + y \binom{0}{1}r=(yx)=x(01)+y(10)
这里的(10),(01)\binom{1}{0}, \binom{0}{1}(01),(10)其实就是二维空间的向量基，有了空间的向量基，那么就可以对这个空间中的任意一个向量进行表示。
光学像差的基–泽尼克多项式
前面我们介绍了空间中的基，就是一组正交且完备的向量基函数，可以实现对该空间中任意一个向量的表征。那么光学像差，或者说波前相位差这样一个空间，是否也存在这样一组基函数，可以实现对任意波前相位差的表征呢，答案是肯定的。我们今天介绍的泽尼克系数就是这样一组基函数。泽尼克多项式（Zernike Polynomials）是一类在单位圆域内正交的多项式，由荷兰物理学家弗里茨・泽尼克（Frits Zernike）于 1934 年提出，最初用于描述光学系统中的像差。
泽尼克多项式的某种表达形式为：
Znm(r,θ)={Rn∣m∣(r)cos(mθ)m≥0Rn∣m∣(r)sin(∣m∣θ)m<0 Z_{n}^{m}(r,\theta)= \begin{cases} R_{n}^{\vert m\vert}(r)\cos(m\theta) & m \geq 0 \\ R_{n}^{\vert m\vert}(r)\sin(\vert m\vert\theta) & m < 0 \end{cases}Znm(r,θ)={Rn∣m∣(r)cos(mθ)Rn∣m∣(r)sin(∣m∣θ)m≥0m<0
其中，r∈[0,1],θ∈[0,2π]r \in [0, 1], \theta \in [0, 2\pi]r∈[0,1],θ∈[0,2π]nnn表示的径向rrr的阶数，mmm表示的是角向频率θ\thetaθ的阶数，n,mn, mn,m都是整数，并且∣m∣≤n|m| \leq n∣m∣≤n，n−∣m∣n - |m|n−∣m∣为偶数。
径向函数的表达式为：
Rnm(r)=∑k=0(n−∣m∣)2(−1)k(n−k)!k!(n+∣m∣2−k)!(n−∣m∣2−k)!rn−2k R_{n}^{m}(r) = \sum_{k=0}^{\frac{(n - |m|)}{2}} \frac{(-1)^{k} (n - k)!}{k! \left( \frac{n + |m|}{2} - k \right)! \left( \frac{n - |m|}{2} - k \right)!} r^{n - 2k}Rnm(r)=k=0∑2(n−∣m∣)k!(2n+∣m∣−k)!(2n−∣m∣−k)!(−1)k(n−k)!rn−2k
泽尼克系数的正交性，在单位圆上满足：
∬r drdθ Zi(r,θ)Zj(r,θ)=πδij \iint r \, dr d\theta \, Z_i(r, \theta) Z_j(r, \theta) = \pi \delta_{ij}∬rdrdθZi(r,θ)Zj(r,θ)=πδij
有了泽尼克多项式，也就是光学像差的基，就可以用泽尼克多项式对光学像差进行表示，理论上任意的波前像差W(r,θ)W(r, \theta)W(r,θ)可以表示为：
W(r,θ)=∑n=0∞∑m=−nncnmZnm(r,θ) W(r,\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=-n}^{n} c_{n}^{m} Z_{n}^{m}(r,\theta)W(r,θ)=n=0∑∞m=−n∑ncnmZnm(r,θ)
泽尼克项与一般像差的对应关系：
| 系数 | 泽尼克项 | 像差类型 | 相位分布特征 |
|---|---|---|---|
| c00c_0^0c00 | Z00Z_0^0Z00 | 平移（常数项） | 全局相位偏移 |
| c1±1c_1^{\pm1}c1±1 | Z1±1Z_1^{\pm1}Z1±1 | 倾斜（Tilt） | 线性倾斜（类似棱镜） |
| c20c_2^0c20 | Z20Z_2^0Z20 | 离焦（Defocus） | 旋转对称二次曲面（碗状） |
| c2±2c_2^{\pm2}c2±2 | Z2±2Z_2^{\pm2}Z2±2 | 像散（Astigmatism） | 双曲抛物面（正交方向曲率相反） |
| c3±1c_3^{\pm1}c3±1 | Z3±1Z_3^{\pm1}Z3±1 | 彗差（Coma） | 非对称泪滴状 |
| c40c_4^0c40 | Z40Z_4^0Z40 | 球差（Spherical） | 旋转对称四次曲面 |
从上面的公式可以看出，实际的泽尼克多项式可以由很多个，但一般会取前 N 项进行分析，对于一般的像差，取前 15 项就差不多够了，更复杂的像差，可能会取更多的项，zemax 里面一般取到 37 项。
zemax 里的 标准泽尼克系数：
光学像差与 PSF
前面介绍了光学像差与泽尼克多项式的关系，接下来利用一些 python 的工具库可以进一做泽尼克多项式的分析，我们可以选用 GitHub 上的 zernpy 这个工具库：
https://github.com/sklykov/zernpy
从 Github 上下载下来之后，可以看到这个工具库主要有两个主要的函数 ZernPol, ZernPSF
通过简单的调用，可以实现对不同泽尼克多项式在单位圆上的相位可视化：
importosimportnumpyasnpfrommatplotlibimportpyplotaspltfromzernpyimportZernPol,ZernPSFif__name__=='__main__':# Example usage of ZernPol classzp=ZernPol(m=-2,n=2)print(f"Zernike Polynomial for m=-2, n=2:{zp}")# Plot the Zernike polynomial profileZernPol.plot_profile(zp)上面这段代码，就可以对m=−2,n=2m=-2, n=2m=−2,n=2这个泽尼克多项式单位圆上的相位进行计算以及可视化：
可以设置不同的m,nm, nm,n可以得到不同的泽尼克多项式的相位情况。
也可以用这个工具，进行 PSF 的仿真：
importosimportnumpyasnpfrommatplotlibimportpyplotaspltfromzernpyimportZernPol,ZernPSFif__name__=='__main__':zpsf=ZernPSF(ZernPol(m=1,n=3))# horizontal comaNA=0.95wavelength=0.55expansion_coeff=-0.26pixel_physical_size=0.2*wavelength# example of physical propertieszpsf.set_physical_props(NA,wavelength,expansion_coeff,pixel_physical_size)# provide physical properties of the systemkernel=zpsf.calculate_psf_kernel(normalized=True)# get the kernel as the square normalized matrixprint(f"PSF kernel shape:{kernel.shape}")plt.imshow(kernel,cmap='gray',interpolation='nearest')plt.title("PSF Kernel")plt.show()上面的代码，可以生成某个泽尼克多项式下对应的 PSF，因为只模拟了单波长，所以显示的是一个单通道的黑白 PSF
也可以对多个泽尼克多项式进行加权，得到多个像差混合的 PSF
importosimportnumpyasnpfrommatplotlibimportpyplotaspltfromzernpyimportZernPol,ZernPSFif__name__=='__main__':# Example of using ZernPSF with multiple Zernike polynomials# Create multiple Zernike polynomials and calculate the PSF kernelzp1=ZernPol(m=-1,n=3)zp2=ZernPol(m=2,n=4)zp3=ZernPol(m=0,n=4)pols=(zp1,zp2,zp3)coeffs=(0.5,0.21,0.15)zpsf_pic=ZernPSF(pols)zpsf_pic.set_physical_props(NA=0.65,wavelength=0.6,expansion_coeff=coeffs,pixel_physical_size=0.6/5.0)psf_kernel=zpsf_pic.calculate_psf_kernel()print(f"PSF kernel shape with multiple Zernike polynomials:{psf_kernel.shape}")plt.imshow(psf_kernel,cmap='gray',interpolation='nearest')plt.title("PSF Kernel with Multiple Zernike Polynomials")plt.show()上面这段代码，实现了三种泽尼克多项式融合下的 PSF