【题目来源】
洛谷：[P7910 CSP-J 2021] 插入排序 - 洛谷
【题目描述】
插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。
假设比较两个元素的时间为 \(O(1)\)，则插入排序可以以 \(O(n^2)\) 的时间复杂度完成长度为 \(n\) 的数组的排序。不妨假设这 \(n\) 个数字分别存储在 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：
这下面是 C/C++ 的示范代码：
for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = i; j >= 2; j--)if (a[j] < a[j-1]) {int t = a[j-1];a[j-1] = a[j];a[j] = t;}
这下面是 Pascal 的示范代码：
for i:=1 to n dofor j:=i downto 2 doif a[j]<a[j-1] thenbegint:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=t;end;
为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：
H 老师给了一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，数组下标从 \(1\) 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 \(a\) 上的 \(Q\) 次操作，操作共两种，参数分别如下：
\(1\ x\ v\)：这是第一种操作，会将 \(a\) 的第 \(x\) 个元素，也就是 \(a_x\) 的值，修改为 \(v\)。保证 \(1≤x≤n\)，\(1≤v≤10^9\)。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。
\(2\ x\)：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 \(a\) 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 \(a\) 的第 \(x\) 个元素，也就是 \(a_x\)，在排序后的新数组所处的位置。保证 \(1≤x≤n\)。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。
H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 \(1\) 的操作次数不超过 \(5000\)。
小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。
【输入】
第一行，包含两个正整数 \(n,Q\)，表示数组长度和操作次数。
第二行，包含 \(n\) 个空格分隔的非负整数，其中第 \(i\) 个非负整数表示 \(a_i\)。
接下来 \(Q\) 行，每行 \(2∼3\) 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。
【输出】
对于每一次类型为 \(2\) 的询问，输出一行一个正整数表示答案。
【输入样例】
3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3
【输出样例】
1
1
2
【解题思路】
【算法标签】
《洛谷 P7910 插入排序》 #枚举# #排序# #CSP-J入门级# #2021# #O2优化#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 定义结构体Node，包含id和num两个成员变量
struct Node {int id, num;
}a[10000]; // 声明结构体数组a，用于存储原始数据及其排序后的结果int n, q, b[10000], op, x, v; // n:元素个数 q:查询次数 b:映射数组 op:操作类型 x,v:操作参数// 自定义比较函数，用于排序
bool cmp(Node &x, Node &y)
{// 如果num相等，则按照id升序排列if (x.num==y.num) return x.id<y.id;// 否则按照num升序排列return x.num<y.num;
}int main()
{// 输入元素个数n和查询次数qcin >> n >> q;// 初始化结构体数组afor (int i=1; i<=n; i++) {cin >> a[i].num; // 输入每个元素的num值a[i].id = i; // 设置每个元素的id为其原始位置}// 对结构体数组a进行排序，排序规则为cmp函数定义的规则sort(a+1, a+n+1, cmp); // a数组排序后成新的a数组// 建立映射数组b，b[i]表示原始位置为i的元素在排序后的a数组中的位置for (int i=1; i<=n; i++) b[a[i].id] = i;// 例如：a=[10,6,9,7,8]，即a[1]=10,a[2]=6,a[3]=9,a[4]=7,a[5]=8，// 排序后顺序为a[2],a[4],a[5],a[3],a[1]// 用新的数组b记录，b的下标为a的id，值为b的id// b[2]=1,b[4]=2,b[5]=3,b[3]=4,b[1]=5// 处理q次查询while (q--) {cin >> op; // 输入操作类型if (op==2) { // 操作类型2：查询cin >> x;// 输出原始位置为x的元素在排序后的数组中的位置cout << b[x] << endl;// 例如x=4，b[4]=2，表示原始a中的第4个元素在排序后的数组中位于第2位} else { // 操作类型1：修改cin >> x >> v;int t = b[x]; // 获取原始位置为x的元素在排序数组中的位置// 修改排序数组中对应位置的num值a[t].num = v; // 向前调整位置：如果当前元素比前一个元素小，则交换位置for (int i=t; i>1; i--) {if (a[i].num < a[i-1].num || (a[i].num==a[i-1].num&&a[i].id<a[i-1].id)) {// 更新映射数组bb[a[i].id]--, b[a[i-1].id]++;// 交换元素位置swap(a[i], a[i-1]);}}// 向后调整位置：如果当前元素比后一个元素大，则交换位置for (int i=t; i<n; i++) {if (a[i].num>a[i+1].num || (a[i].num==a[i+1].num&&a[i].id>a[i+1].id)) {// 更新映射数组bb[a[i].id]++, b[a[i+1].id]--;// 交换元素位置swap(a[i], a[i+1]);} }}}return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 定义全局变量
int n, q, r[8010]; // n:元素个数 q:查询次数 r:映射数组，记录每个原始位置元素在排序后的位置// 定义结构体node，包含id和val两个成员变量
struct node {int id, val; // id:原始位置 val:元素值
}a[8010]; // 声明结构体数组a，用于存储原始数据及其排序后的结果// 自定义比较函数，用于排序
bool cmp(node x, node y)
{// 如果val不相等，则按val升序排列if (x.val != y.val) return x.val < y.val;// 如果val相等，则按id升序排列return x.id < y.id;
}int main()
{// 输入元素个数n和查询次数qcin >> n >> q;// 初始化结构体数组afor (int i=1; i<=n; i++) {cin >> a[i].val; // 输入每个元素的值a[i].id = i; // 设置每个元素的id为其原始位置}// 对结构体数组a进行排序，排序规则为cmp函数定义的规则sort(a+1, a+n+1, cmp);// 建立映射数组r，r[i]表示原始位置为i的元素在排序后的a数组中的位置for (int i=1; i<=n; i++) r[a[i].id] = i;// 处理q次查询while (q--) {int op, x, v; // op:操作类型 x:操作位置 v:修改后的值cin >> op; // 输入操作类型if (op==1) { // 操作类型1：修改元素值cin >> x >> v;int t = r[x]; // 获取原始位置为x的元素在排序数组中的位置// 修改排序数组中对应位置的val值a[t].val = v;// 向前调整位置：如果当前元素比前一个元素小，则交换位置for (int i=t; i>=2; i--) {if (cmp(a[i], a[i-1])) { // 使用cmp函数比较两个元素swap(a[i], a[i-1]); // 交换元素位置}}// 向后调整位置：如果当前元素比后一个元素大，则交换位置for (int i=t; i<=n-1; i++) {if (cmp(a[i+1], a[i])) { // 使用cmp函数比较两个元素swap(a[i+1], a[i]); // 交换元素位置}}// 重新建立映射关系for (int i=1; i<=n; i++) r[a[i].id] = i;} else { // 操作类型2：查询元素位置cin >> x;// 输出原始位置为x的元素在排序后的数组中的位置cout << r[x] << endl;}}return 0;
}
【运行结果】
3 4
3 2 1
2 3
1
1 3 2
2 2
1
2 3
2