数学建模Matlab算法，第十二章 回归分析

回归分析：从数据拟合到统计推断的系统方法

在数据分析领域，曲线拟合是处理变量间关系的基础手段，但仅通过最小二乘法计算待定系数，无法回答 “拟合结果是否可靠”“变量对结果的影响是否显著”“模型能否用于预测” 等核心问题。回归分析作为拟合问题的统计延伸，将随机变量的特性纳入考量，通过参数估计、假设检验、模型诊断等一系列手段，构建从数据到规律的严谨分析框架。本文系统梳理回归分析的理论体系与实践方法，涵盖一元线性回归、多元线性回归、多项式回归、非线性回归及逐步回归，结合 Matlab 实现案例，展现回归分析从模型构建到应用落地的完整逻辑。

一、回归分析的核心内涵与数据预处理

1.1 回归分析的研究范畴

回归分析以一组观测数据为基础，围绕五个核心问题展开：

• 构建因变量 y 与自变量 x1​,x2​,…,xm​ 之间的回归模型（经验公式）；
• 检验回归模型的可信度，判断模型是否能有效反映变量间的真实关系；
• 甄别每个自变量对因变量的影响是否显著，剔除无意义的变量；
• 诊断模型是否适配数据，识别异常点、多重共线性等问题；
• 利用验证后的模型对因变量进行预报或控制，为决策提供依据。

1.2 数据表的基础处理

回归分析的前提是对数据进行标准化处理，消除量纲、偏移等干扰，提升模型稳定性：

（1）中心化处理

通过平移变换 xij′​=xij​−xˉj​（xˉj​ 为第 j 个变量的均值），使样本均值为 0。该变换不改变变量间的相关性和样本相对位置，却能简化后续计算。

（2）无量纲化处理

不同变量