每日一导2

Problem

已知函数 $ f(x) =x \ln x - a x^2 -x +a \hspace {0.1cm} (a\in R)$ .

若 \(f(x)\) 有两个极值点 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\) ，证明：当 $ \lambda \geq 1$ 时， $ \ln x_1 + \lambda \ln x_2 > 1+\lambda$ .

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分析

分析后发现 $ x_2 >e $ ，则原不等式可以转化为证明 $ \lambda =1$ 时成立。

所谓“极值点偏移的简单应用”。

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Solution

由题 $ f'(x)=g(x) =\ln x +1 -2ax -1 = \ln x -2ax$ .

令 $ g(x) =0$ ，得 $a=\frac{\ln x}{2x},\frac{\ln x_1}{x_1} =\frac{\ln x_2}{x_2} $ .

设 $ h(x)=g'(x)=\frac{1}{2} ·\frac{1-\ln x}{x^2} $ ，可得 $ h(e)=0 ,g(x)_{max}=g(e)=\frac{1}{2e}$ .

且 $ 0<x_1<e<x_2 $ .

设 $ p(x)=\frac{x}{e^x} $ ，则 $ p(\ln x_1) =p(\ln x_2)$ .

设 $q(t)=p(1+t)-p(1-t) $ ，则

\[\begin {aligned} q'(t) &=p'(1+t)+p'(1-t)\\ & =\frac{-t}{e^{1+t}}+\frac{t}{e^{1-t}}\\ &=\frac{t}{e^2} (e^{1+t}-e^{1-t})\\ \end{aligned} \]

\(\forall t \in (0,1) ,q'(t)>0 ,q(t)>q(0)=0\) ，

即 $ p(1+t) >p(1-t) $ ， $ p(2-\ln x_1)>p(\ln x_1) =p(\ln x_2) $ .

因为 \(p(x)\) 在 $ (1,+\infin) $ 上单调递减，所以 $ 2-\ln x_1 <\ln x_2 $.

$\therefore \ln x_1 +\ln x_2 >2 $.

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source:模拟卷十