泛函分析与偏微分方程（三）：弱拓扑、凸集与线性算子

1 弱拓扑与弱收敛

定义 1.1（弱拓扑）

设EEE为赋范线性空间，E∗E^*E∗为其连续对偶。弱拓扑σ(E,E∗)\sigma(E,E^*)σ(E,E∗)是使得所有f∈E∗f\in E^*f∈E∗都连续的最弱拓扑。 等价地：在点x0x_0x0​的一组弱邻域基可取为
U(x0;f1,…,fm,ε)={ x∈E: ∣fi(x−x0)∣<ε, i=1,…,m}. U(x_0; f_1,\dots,f_m,\varepsilon) =\{x\in E:\ |f_i(x-x_0)|<\varepsilon,\ i=1,\dots,m\}.U(x0​;f1​,…,fm​,ε)={x∈E: ∣fi​(x−x0​)∣<ε, i=1,…,m}.

定义 1.2（弱收敛）

称xnx_nxn​在弱拓扑下收敛到xxx（记为xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn​⇀x），若对任意弱邻域UUU（关于xxx）存在NNN使得n≥Nn\ge Nn≥N时xn∈Ux_n\in Uxn​∈U。

命题 1.1（弱收敛的泛函刻画）

xn⇀x⟺∀f∈E∗, f(xn)→f(x). x_n\rightharpoonup x \quad\Longleftrightarrow\quad \forall f\in E^*,\ f(x_n)\to f(x).xn​⇀x⟺∀f∈E∗, f(xn​)→f(x).

证明：由定义 1.1 的邻域基，收敛等价于对任意有限个f1,…,fmf_1,\dots,f_mf1​,…,fm​同时满足
∣fi(xn−x)∣→0(i=1,…,m), |f_i(x_n-x)|\to 0\quad (i=1,\dots,m),∣fi​(xn​−x)∣→0(i=1,…,m),
进而等价于对每个f∈E∗f\in E^*f∈E∗都有f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x)f(xn​)→f(x)。□\square□

命题 1.2（强收敛推出弱收敛）

若∥xn−x∥→0\|x_n-x\|\to 0∥xn​−x∥→0，则xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn​⇀x。

证明：任取f∈E∗f\in E^*f∈E∗，
∣f(xn)−f(x)∣=∣f(xn−x)∣≤∥f∥ ∥xn−x∥→0. |f(x_n)-f(x)|=|f(x_n-x)|\le \|f\|\,\|x_n-x\|\to 0.∣f(xn​)−f(x)∣=∣f(xn​−x)∣≤∥f∥∥xn​−x∥→0.
□\square□

例题 1.1（ℓ2\ell^2ℓ2中en⇀0e_n\rightharpoonup 0en​⇀0但不强收敛）

在E=ℓ2E=\ell^2E=ℓ2中令ene_nen​为标准基。证明en⇀0e_n\rightharpoonup 0en​⇀0，且∥en∥↛0\|e_n\|\not\to 0∥en​∥→0。

解：因(ℓ2)∗≅ℓ2(\ell^2)^*\cong \ell^2(ℓ2)