9、数学基础：范数、收缩映射定理及常微分方程解的存在唯一性

数学基础：范数、收缩映射定理及常微分方程解的存在唯一性

1. 诱导范数

在数学中，当我们有两个赋范线性空间 (X) 和 (Y)，分别带有范数 (|\cdot|_X) 和 (|\cdot|_Y) 时，从 (X) 到 (Y) 的线性映射空间 (L(X, Y)) 可以由 (X) 和 (Y) 上的范数诱导出一个范数。

定义 3.14 诱导范数：设 (A \in L(X, Y))，则 (A) 的诱导范数定义为
(|A| = \sup\left{\frac{|Ax|_Y}{|x|_X} : |x|_X \neq 0, x \in X\right} = \sup{|Ax|_Y : |x|_X = 1})

对于 (m\times n) 矩阵，它们是从 (\mathbb{R}^n) 到 (\mathbb{R}^m) 的线性算子的表示，(\mathbb{R}^n) 和 (\mathbb{R}^m) 上的范数会诱导出 (\mathbb{R}^{m\times n}) 上的矩阵范数。以下是一些常见的矩阵范数示例：
| (\mathbb{R}^n) 和 (\mathbb{R}^m) 上的范数 | (\mathbb{R}^{m\times n}) 上的诱导范数 |
| ---- | ---- |
| (|x|{\infty} = \max |x_i|) | (|A|{\infty} = \max_{i}\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|) |
| (|x|1 = \sum{i = 1}^{n}|x_i|) | (|A|1 = \max