作差法求一些数列的单调性

在微信公众号“好玩的数学”上，有一篇文章，讲疫情期间用“混检”的方式排查感染人群，效率较高的原因。文章在混检：跑赢病毒的得力法宝

这里面涉及到一些数列的单调性。文章中，对于数列的单调性，较多使用求导方式。这种方式可用，但需要凑出一些特定的算式，似乎较难。本文对一些数列的求单调性用作差法或许更为容易。

一、

例如，为了证明当时，，文章用导数证明了单调递增。本文用作差法证明其单调递增。

若要证明单调递增，只需证明单调递增。

令

则

显然，只要为正，，而，

所以，，单调递增。

二、

另外，为了证明随单调递减，要证明，而

显然，分母在为正整数时必为正，所以只需比较和

这里使用商比法，令，求的单调性

所以只需比较和

显然，，

所以如果

那么

因此可以研究函数的单调性。

为了确认和的关系，对它再求导一次

所以在时单调递增。

所以时

所以单调递减，

，所以单调递增。

当时，，

所以时，，。证毕