2026多校冲刺省选模拟赛3题解
感觉这场比赛稍微有点体验感，除了T1没有m? T2放科技？
但是我打的很烂，预计打了 40 + 65 + 70 实际只有 0 + 45 + 70，感觉T1是个水题但是没有切掉，T3考场已经出思路了没有写完，T2树上背包不知道为啥还挂了20。
T1: 斐波那契（fib） CF575A
首先可以处理出来一个周期内的，对于没有的修改直接矩阵快速幂，有修改的可以暴力修改矩阵，可以做到 \(O(nm+m\log k)\)。
考虑优化，显然可以使用线段数维护一个周期内的矩阵，支持单点修改全局询问，每次修改只会影响两个矩阵，总的有修改周期是 \(O(m)\) 的，总复杂度 \(O(m \log k+m \log m)\)。
T2：出题（task）Link
每物品有权值 \(c_i\) 和两个属性，每个属性都有对应的前置物品，有若干条限制，以一个物品为前置物品的后置物品不能超过 \(k\)。现在让你分配每个物品是否选，如果选，还要分配他的属性，使他在满足条件下物品的权值最大。
流题，考虑拆点，将每个物品拆成 \(i\)、 \(i_a\) 和 \(i_b\)，定义两个物品的前置为 \(preA_i\)，\(preB_i\)，前置限制分别为 \(la_i\) ，\(lb_i\)。考虑以下建图方式：
- \(preA_i \to i_a\) 连流量为 \(la_i\)，费用为 \(0\) 的边。
- \(preB_i \to i_b\) 连流量为 \(lb_i\)，费用为 \(0\) 的边。
- \(i_a \to i\) 连流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边。
- \(i_b \to i\) 连流量为 \(1\)，费用为 \(0\) 的边。
- \(i \to T\) 连流量为 \(1\)，费用为 \(c_i\) 的边。
然后跑最大费用最大流。
但是这里普通的费用流跑不过，需要用 \(Capacity-Scaling\) 科技，虽然但是，出题人只放了1分。
T3：交换问题（swap）Link
给一个数列 \(a\)，每次可以swap一对逆序对，求经过若干次操作之后能得到的不同序列的数量。
分数分为两部分：序列中只有 \(0\) ，\(1\) 或者是序列是一个排列
首先只有 \(0\) 、\(1\) 的情况是简单的，设 \(dp[i][j]\) 当前到第 \(i\) 位，交换了 \(j\) 个 \(1\) 的序列方案数，复杂度 \(O(n^2)\) 可以通过。
序列满足 \(n \leq 20\)，估测大概率是 \(2^n\) 相关的。这里有一个经典 trick P2824 [HEOI2016/TJOI2016] 排序，对于一个数 \(k\)，将大于 \(k\) 的看成 \(1\)，反之则是 \(0\)。同样的，考虑枚举状态，从一个全 \(0\) 的串开始，每次转移是将串中的某个 \(0\) 改为 \(1\)，变成全 \(1\) 的串，且保证经过的都是合法 01 串直接计数即可。总复杂度 \(O(n2^n)\) 。
核心代码：
for(int s = 0; s < (1 << n); s++){if(!dp[s]) continue;for(int j = 0; j < n; j++){if((s >> j) & 1) continue;if(!check(s | (1 << j), p[num[s] + 1])) continue;add(dp[s | (1 << j)], dp[s]);}
}