【数学笔记】反演变换

反演变换

1.1 引入

• 概括地讲，反演变换的题目条件可以称为定角定积。即有两个定角且有两动点。

• 特别地，会有两条不定线段的乘积为定值，由此可推导出相似。找出动点运动轨迹。

动点运动轨迹

• 在以前的瓜豆模型中，我们了解到主从联动的概念，即在一般情况下，主动点与从动点的运动轨迹是相同的。他们的运动轨迹大致分为 圆（圆弧） 或 直线（线段）。

• 但是在反演变换这一模型中，主动点与从动点的运动轨迹是不同的。其类型基本分为两种：线生圆和圆生线。

1.2 两种类型

线生圆

如图，\(A\) 是直线 \(l\) 上一动点，\(P\) 点是平面内一定点。\(B\) 是线段 \(AP\) 上一动点且 \(PA \cdot PB=24\)。考虑找到 \(B\) 点的运动轨迹。

类比瓜豆原理，我们要找到一个特殊点。我们理所应当的找到垂线。此时 \(PA \cdot PB=PA' \cdot PB'\)。不妨变换一下：

\[\frac{PA}{PB'} =\frac{PA'}{PB} \]

又因为公共角 \(\angle APA'\)，所以 \(\triangle PBB' \sim \triangle PAA'\)。

所以 \(\angle B'BP=\angle PA'A=90°\)。直径所对的角为直角。因而构造隐圆模型，找出运动轨迹。

圆生线

如图，\(B\) 是 \(\odot \ O\) 上一动点，\(P\) 是\(\odot \ O\) 上一点。将 \(PB\) 绕 \(P\) 点顺时针旋转的角度为 \(\alpha\)，\(\alpha=60°\)，\(PA \cdot PB=24\)，考虑找到点 \(A\) 的运动轨迹。

对于圆来讲，特殊点无疑为直径的两个端点。因而直接过点 \(P\) 作 \(\odot \ O\) 的直径，交 \(\odot \ O\) 于点 \(B'\)，作 \(\angle A'PB'=\alpha\)，且保证 \(PA \cdot PB=24\)。

同理 \(PA \cdot PB=PA' \cdot PB'\)。不妨变换一下：

\[\frac{PA}{PB'} =\frac{PA'}{PB} \]

又因为 \(\angle APB,\angle A'PB'\) 减去公共角 \(\angle BPA'\)，所以 \(\angle BPB'=\angle APA',\triangle PBB' \sim \triangle PAA'\)。

所以 \(\angle B'BP=\angle PA'A=90°\)。两点确定一条直线。所以 \(A\) 的运动轨迹为直线 \(l\)。