日本数学教育家“dy/dx不是分数”谬论使学生不能正确认识导数概念

黄小宁

学习不能满足于只知结论不懂原理的低层次浅薄。在解微分方程时为什么能将“不是分式的数学表达式”看成是分式？理论依据是什么？

高等数学是研究变量的 ，两变量之间可有除法运算。两非0无穷小变量之间就有除法运算，例无穷小x除以x^3=1/x^2是无穷大变量。算子中有除法算子和微分算子等。映射和算子不是变量从而没有变化率。

要在没有微分dy的定义这个条件下研究相应变量y（x）在x处的变化率。x的增量dx无穷逼近0时相应的分式Δy/dx以y'（x）为极限即y'是y在x处的变化率。因y'=y'dx/dx的分子y'dx是导数与（x的增量）dx的积，分母是非0无穷小dx，所以y'（x）是两个变量y'dx与dx的商使表达式y'dx/dx是分式。可将y'（x）dx简记为dy（不是定义dy=y'（x）dx）正如可将中华人民共和国简记为中国一样，将y'（x）dx简记为dy则y'=dy/dx是dy与dx的商。

所以日本数学教育家远山启“dy/dx不是分数即不是表示dy除以dx”是误人子弟的错误观点。