习题1 解答
1. 经济食谱数学模型
题目：
设市场上可以买到 \(n\) 种不同的食品，每种食品含有 \(m\) 种营养成分，设每单位的 \(j\) 种食品含有 \(i\) 种营养成分的数量为 \(a_{ij}\)（\(i=1,2,\dots,m\)；\(j=1,2,\dots,n\)）。第 \(j\) 种食品的单位价格为 \(c_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)），再设每人每天对第 \(i\) 种营养成分的需求量为 \(b_i\)（\(i=1,2,\dots,m\)），试建立在保证营养需求条件下的经济食谱的数学模型。
解答：
- 决策变量：设每天购买第 \(j\) 种食品的数量为 \(x_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）。
- 目标函数：最小化总费用\[\min \sum_{j=1}^{n} c_j x_j \]
- 约束条件：
- 营养需求约束：每种营养成分的摄入量不低于需求量\[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \ge b_i \quad (i=1,2,\dots,m) \]
- 非负约束：食品购买量不能为负\[x_j \ge 0 \quad (j=1,2,\dots,n) \]
- 营养需求约束：每种营养成分的摄入量不低于需求量
2. 钢板下料数学模型
题目：
用某类钢板制作 \(m\) 种零件 \(A_1,A_2,\dots,A_m\)，根据既要省料又容易操作的原则，人们在一块钢板上，已设计出 \(n\) 种不同的下料方案，设在第 \(j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）种下料方案中，可得到零件 \(A_i\)（\(i=1,2,\dots,n\)）的个数为 \(a_{ij}\)，第 \(i\) 种零件的需要量为 \(b_i\)（\(i=1,2,\dots,m\)）。问应如何下料，才能既满足需要，又使所用钢板的总数最少？试建立数学模型。
解答：
- 决策变量：设采用第 \(j\) 种下料方案的次数为 \(x_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）。
- 目标函数：最小化所用钢板总数\[\min \sum_{j=1}^{n} x_j \]
- 约束条件：
- 零件需求约束：每种零件的总产量不低于需求量\[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \ge b_i \quad (i=1,2,\dots,m) \]
- 非负整数约束：下料次数为非负整数\[x_j \in \mathbb{Z}, \quad x_j \ge 0 \quad (j=1,2,\dots,n) \]
- 零件需求约束：每种零件的总产量不低于需求量
3. 参数确定的最优化问题
题目：
已知两个物理量 \(x\) 和 \(y\) 之间的依赖关系为
其中 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) 是待定系数。为确定这些参数的值，对 \(x\) 和 \(y\) 测得 \(m\) 个实验点：\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_m,y_m)\)。试将确定参数的问题表示成最优化问题。
解答：
- 决策变量：待定系数 \(a_1, a_2, a_3, a_4\)。
- 目标函数：最小化预测值与实测值的误差平方和（最小二乘）\[\min \sum_{k=1}^{m} \left[ y_k - \left( a_1 + \frac{a_2}{1 + a_3 \ln(1 + \mathrm{e}^{x_k - a_4})} \right) \right]^2 \]
4. 可行域与等值线图
题目：
画出如下优化问题的可行域和目标函数的等值线图。
解答：
- 可行域：由以下约束共同围成的凸多边形区域，顶点为：\((0,1)\)、\((0,4)\)、\((2,3)\)、\((5,0)\)、\((1,0)\)。
- 目标函数等值线：\(f(\boldsymbol{x}) = (x_1 - 6)^2 + (x_2 - 2)^2 = r^2\)，是以点 \((6,2)\) 为圆心的同心圆。
- 最优解：圆心 \((6,2)\) 在可行域外，最小值出现在可行域边界上。经计算，点 \((2,3)\) 到圆心的距离最近，故最优解为 \(\boldsymbol{x}^* = (2, 3)\)，最小值 \(f(\boldsymbol{x}^*) = 17\)。
要不要我帮你把第4题的可行域和等值线图用代码画出来，方便你直观理解？### 习题1 解答
1. 经济食谱数学模型
题目：
设市场上可以买到 \(n\) 种不同的食品，每种食品含有 \(m\) 种营养成分，设每单位的 \(j\) 种食品含有 \(i\) 种营养成分的数量为 \(a_{ij}\)（\(i=1,2,\dots,m\)；\(j=1,2,\dots,n\)）。第 \(j\) 种食品的单位价格为 \(c_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)），再设每人每天对第 \(i\) 种营养成分的需求量为 \(b_i\)（\(i=1,2,\dots,m\)），试建立在保证营养需求条件下的经济食谱的数学模型。
解答：
- 决策变量：设每天购买第 \(j\) 种食品的数量为 \(x_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）。
- 目标函数：最小化总费用\[\min \sum_{j=1}^{n} c_j x_j \]
- 约束条件：
- 营养需求约束：每种营养成分的摄入量不低于需求量\[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \ge b_i \quad (i=1,2,\dots,m) \]
- 非负约束：食品购买量不能为负\[x_j \ge 0 \quad (j=1,2,\dots,n) \]
- 营养需求约束：每种营养成分的摄入量不低于需求量
2. 钢板下料数学模型
题目：
用某类钢板制作 \(m\) 种零件 \(A_1,A_2,\dots,A_m\)，根据既要省料又容易操作的原则，人们在一块钢板上，已设计出 \(n\) 种不同的下料方案，设在第 \(j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）种下料方案中，可得到零件 \(A_i\)（\(i=1,2,\dots,n\)）的个数为 \(a_{ij}\)，第 \(i\) 种零件的需要量为 \(b_i\)（\(i=1,2,\dots,m\)）。问应如何下料，才能既满足需要，又使所用钢板的总数最少？试建立数学模型。
解答：
- 决策变量：设采用第 \(j\) 种下料方案的次数为 \(x_j\)（\(j=1,2,\dots,n\)）。
- 目标函数：最小化所用钢板总数\[\min \sum_{j=1}^{n} x_j \]
- 约束条件：
- 零件需求约束：每种零件的总产量不低于需求量\[\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \ge b_i \quad (i=1,2,\dots,m) \]
- 非负整数约束：下料次数为非负整数\[x_j \in \mathbb{Z}, \quad x_j \ge 0 \quad (j=1,2,\dots,n) \]
- 零件需求约束：每种零件的总产量不低于需求量
3. 参数确定的最优化问题
题目：
已知两个物理量 \(x\) 和 \(y\) 之间的依赖关系为
其中 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) 是待定系数。为确定这些参数的值，对 \(x\) 和 \(y\) 测得 \(m\) 个实验点：\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_m,y_m)\)。试将确定参数的问题表示成最优化问题。
解答：
- 决策变量：待定系数 \(a_1, a_2, a_3, a_4\)。
- 目标函数：最小化预测值与实测值的误差平方和（最小二乘）\[\min \sum_{k=1}^{m} \left[ y_k - \left( a_1 + \frac{a_2}{1 + a_3 \ln(1 + \mathrm{e}^{x_k - a_4})} \right) \right]^2 \]
4. 可行域与等值线图
题目：
画出如下优化问题的可行域和目标函数的等值线图。
解答：
- 可行域：由以下约束共同围成的凸多边形区域，顶点为：\((0,1)\)、\((0,4)\)、\((2,3)\)、\((5,0)\)、\((1,0)\)。
- 目标函数等值线：\(f(\boldsymbol{x}) = (x_1 - 6)^2 + (x_2 - 2)^2 = r^2\)，是以点 \((6,2)\) 为圆心的同心圆。
- 最优解：圆心 \((6,2)\) 在可行域外，最小值出现在可行域边界上。经计算，点 \((2,3)\) 到圆心的距离最近，故最优解为 \(\boldsymbol{x}^* = (2, 3)\)，最小值 \(f(\boldsymbol{x}^*) = 17\)。