题单：https://www.luogu.com.cn/training/911686#information
P14635 [NOIP2025] 糖果店 / candy（民间数据）
我们考虑进行贪心，对于每个选取 \(b_i\) 的情况必然连带着 \(a_i\) 一起选取，也就是我们把 \(a_i+b_i\) 当作一个整体去进行排序，取出其中最少的，然后对于 \(a_i\) 我们排序后暴力枚举选取即可。
P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖 / sale（民间数据）
考虑怎么做才会炸掉，看一眼样例就会发现其实是存在一个花费为 \(2\) 的 \(a[i]\)，前面有一个花费为奇数，性价比比 \(\frac{a[i]}{2}\) 更优的 \(a[j]\)，这个 \(a[j]\) 满足 \(a[j]<a[i]<2\times a[j]\)，我们选择了 \(j\) 之后没法选择 \(a[i]\) 而只剩下了 \(1\) 点花费，只能选一个加起来也没有 \(a[i]\) 大的或者什么都选不到。
容易想到怎么样才能凑出来只剩下 \(2\) 元的情况呢？我们对于 \(i\) 和 \(j\) 之外的，假设是 \(k\)，如果 \(a[k]\) 已经比 \(a[i]\) 的原价大，那就一定会选取。如果 \(k\) 的性价比在 \(a[j]\) 到 \(a[i]\) 之间，那么如果 \(w=1\) 则会被选取。如果 \(k\) 的性价比在 \(a[i]\) 到 \(\frac{a[j]}{2}\) 之间，那么因为这样加起来会比 \(a[i]\) 大所以只能全都是 \(w=2\)。
我们先全部提前给选 \(1\) 和 \(2\) 都得选的全都先选一个 \(1\)，剩余的钱数也就是 \(m-2-(n-i)\)，我们需要在 \((n-i)+(i-j-1)=n-j-1\) 个里头选中这么多个，这是一个组合数的形式，可以直接求。
对于后面的和 \(a[j]\) 加起来比 \(a[i]\) 大的情况，我们选不了，因此这些只能是 \(w=2\)。其余的可以随便选啦。我们设这个是 \(z\)，那么我们现在也就是需要找到最大的 \(z\)，能够产生 \(2^z\binom{n-j-i}{m-2-n+i}\) 种贡献，枚举 \(i,j\) 暴力计算即可。
ARC211A Banned X 2
我们考虑构造类似 \(1111112222233333\cdots\) 的状态，然后发现对于 \(5\) 需要单独判断因为 \(5+5=10\)，用类似插板的形式插进去，答案为 \(a[5]-sum-1\)，然后特判 \(cnt<3\) 的情况即可。
ARC211B Three Sequences
我们先考虑 \(X=Y\) 的情况，此时很简单，我们构造 \(S_1\) 为 \(X\) 个 \(0\)，\(S_2\) 和 \(S_3\) 都是 \(Z\) 个零即可，此时只需要 \(0\) 显然最少。然后考虑拓展到一般情况，很邪恶的是似乎无法构造全部都是 \(0\) 的情况了，那么我们让 \(S_1\) 是 \(X\) 个 \(0\) 和 \(Y\) 个 \(1\) 连续着拼起来，对于 \(S_2\) 则是直接 \(Z\) 个 \(0\)，\(S_3\) 构造 \(Y\) 个 \(1\) 和 \(Z\) 个 \(0\) 即可。
ARC211C Forest
我们容易想到对于一个 # 区间我们只需要取这个区间的最大值，然后对于一个 . 区间也是这样的，我们记录其中的最大值和最大值数量，可以想到对于包含住 # 区间的两个 . 区间合并之后会变成一个大的 . 区间，这个区间的贡献就是大点区间的 \(\max\)，一次操作是正确的当且仅当操作后的 \(\max\{a_i\}\) 是全局最大值且恰好包含两个 . 区间和一个 # 区间，贡献的操作数是两个点区间的 \(\max\) 的个数相乘。我们把这些加起来即可。特别注意全局最大值是不能取到最左和最右两个不能取到的 # 区间的。
TG0043. Delta 的疑惑
考虑什么情况会 WA 掉而不是 AC，显然是存在一个不是完全子图的点双联通分量，暴力判断即可。
P8575 「DTOI-2」星之河
我们容易想到把红和蓝抽象为二维偏序，然后我们发现其实是还有一个 dfn 相关的限制的，所以再把 dfn 形象化一下就是 \(dfn_u<dfn_{x}<dfn_{u+siz_u}\)，一眼看好像是个四维偏序，但是可以扔到树状数组上面差分一下，然后就变成了三维偏序，直接 CDQ 即可。
P2619 [国家集训队] Tree I
容易想到我们先构造一个全都是黑色边的 MST，然后考虑往里头添加白色边，我们肯定是尽可能用小的白色边去代替加入后构成的环上的最长的黑色边，可以发现每次增加后的斜率单调不降，所以考虑 WQS 二分。我们给所有白色的边加上一个 \(w\)，然后跑最小生成树判断里头的 \(k\) 是多少暴力判断能不能行即可。
P3045 [USACO12FEB] Cow Coupons G
抛弃脑子，注意到 \(k\) 的限制，想想能不能 WQS 二分，我们显然能求出来买 \(x\) 个奶牛用 \(k\) 个优惠卷的最少花费，容易想到用优惠卷减去的价格越来越少，有单调性，直接大力 WQS 二分，然后外侧一个二分答案即可。
P3515 [POI 2011] Lightning Conductor
我们发现这道题要求所有的最小的 \(k_i\)，所以可以想到先转化一下式子，\(k=h_j-h_i+\sqrt{|i-j|}\)，所以 \(k=\max_{j=1}\{h_j+\sqrt{|i-j|}\}-h_i = \max(\max\limits_{j=1}^{i-1}\{h_j+\sqrt{i-j}\},\max\limits_{j=i+1}^{n}\{h_j+\sqrt{j-i}\})-h_i\)。容易想到决策单调性优化，这个和四边形不等式因为求的是 \(\max\) 正好直接倒过来就行。
P3623 [APIO2008] 免费道路
一眼看过去比较 Tree I，考虑 WQS 二分。但是我们容易发现这个题太菜了没有边权，所以我们 rand 一个边权然后跑 WQS 二分，可以直接跑，问题就变成了怎么求路径，暴力统计即可。这道题我们 rand 边权的时候尽量往大了 rand，在 \([2\times 10^5,3\times 10^5]\) 左右概率就很大很大了。
P5617 [MtOI2019] 不可视境界线
感觉有点诡异，我们先考虑一个弱化，就是我们不管 \(k\) 个的限制，此时我们只有一堆圆形，我们要计算的是这两个圆的并，很容易想到先求交，想到分类讨论，一种是没有过对方的圆心的情况：
这个就是用两个扇形的面积减去两个交点和两个圆心组成的四边形的面积。我们试图去求这个扇形的圆心角。
我们用两个 \(r\) 相加的和减去这个距离可以知道中间的长度，垂径定理随便算算就好啦，然后用扇形减去三角形就可以把这个交求出来了。
一种是过了对方圆心的情况：
这个也是两个扇形减掉中间的那一部分，同理去求即可。
我们设 \(c_{i,j}\) 表示 \(i\) 和 \(j\) 的交的范围，我们可以想到一个朴素的 \(O(n^3)\) 的 \(dp\)，用 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个里头选了 \(j\) 个，转移方程是 \(dp_{i,j}=\max_{k=1}^{i}\{dp_{k,j-1}-c_{i,j}\}+2\pi r\)。这个长得就很四边形不等式，思考一下能不能优化，显然的，交叉的面积并肯定是比包含的面积并要大的，但是我们这里是一个负的，可以倒过来，发现是满足四边形不等式的，因此有决策单调性。
然后对于这个 \(j\) 的限制，我们可以想到决策显然是越来越劣的，所以显然的可以直接 WQS 二分，两个套起来复杂度是 \(O(n \log n \log m)\) 的。