实对称阵与二次型

前置引入

对于 \(n\) 元二次型 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ，若令：

\[\left\{ \begin{aligned} x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ &\cdots\\ x_1&=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\\end{aligned} \right. \]

即有线性变换：

\[x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\\ y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T\\ \]

\[ C=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

\[x=Cy \]

若 \(C\) 可逆，即 \(|C|\neq0\)，则称为可逆线性变换。

即对于二次型 \(f(x)=x^TAx\) 有：

\[f(x)=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y \]

记 \(B=C^TAC\),称 \(B\) 为 \(A\) 的合同矩阵，而

\[f(x)=y^TBy=g(y) \]

二次型与实对称阵

实对称阵：均为实数且 \(A^T=A\)。

二次型：设 \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) 为实对称阵，\(x=[x_,\cdots,x_n]^T\)，则变元 \(x_1,\cdots,x_n\) 的二次齐次多项式

\[\begin{aligned} f(x)&=x^TAx\\&=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\&+a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2^n\\&+\cdots\\&=a_{nn}x_n^2\\ \end{aligned} \]

称为 \(n\) 元二次型，\(A\) 为这个二次型的矩阵，\(A\) 的秩称为这个二次型的秩。

正交矩阵与标准正交基

定义

• 若向量空间 \(\mathbb{R}^n\) 的基 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 中的向量都是单位向量，且相互正交，则称此基为标准正交基。

• 若实方阵 \(P\) 满足 \(P^TP=E\)，即 \(P^T=P^{-1}\)，则称 \(P\) 为正交阵。

性质

• 若 \(A\) 为正交阵，那么 \(A\) 的行列式的绝对值值为 \(1\)。

\[\begin{aligned}AA^T&=E\\\Rightarrow |AA^T|&=1\\ \Rightarrow |A||A^T|&=1\\ \Rightarrow |A|^2&=1\\ \Rightarrow |A|&=\pm 1\\\end{aligned} \]

• 行或列向量组为单位正交向量。

施密特正交化

合同的定义与性质

设 \(A\) 与 \(B\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在可逆阵 \(C\) 使得

\[C^TAC=B \]

则称 \(A\) 与 \(B\) 合同，记为 \(A\simeq B\)。

此时与之对应的 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 为合同二次型，本质上是同一表达式在不同参考系下的表示。

化二次型为标准型、规范形

若二次型中只有平方项，没有交叉项（交叉项系数全为零），形如

\[d_1x_1^2+d_1x_2^2+\cdots+d_1x_n^2 \]

的二次型称为标准形。（一般不唯一）

若标准型中，系数的取值范围 \(\{-1,1,0\}\) 为 即形如

\[x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2 \]

的二次型称为规范形。（不考虑顺序的情况下唯一）

想要进行标准化需要保证线性变换 \(C\) 为正交阵

标准化

例题：

惯性定理

无论选取怎样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数 \(P\)，负项个数 \(q\) 都是不变的。

称 \(p\) 为正惯性系数，\(q\) 为负惯性系数，\(p+q=r(r为矩阵的秩)\)。

warning:只有实对称矩阵