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SAM exSAM 学习笔记

news 2026/3/27 4:57:27

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概述 - SAM

后缀自动机（suffix automaton, SAM）是一个能解决许多字符串相关问题的有力的数据结构。

其主要解决的问题是子串相关的问题。

一些符号

$\Sigma$ 为字符集，$|\Sigma|$ 为字符集大小，在代码中使用常量 SIG 表示
$\text{endpos}(t)$ 表示 $t$ 的结束位置集合。在下文中定义。
$\text{endpos}(u)$ 表示等价类 $u$ 中任意字符串的结束位置集合。
$\text{link}(u)$ 表示节点 $u$ 的后缀链接。
$\text{longest}(u), \text{shortest}(u)$ 为节点 $u$ 表示的字符串中最长 / 最短的。
$\text{maxlen}(u),\text{minlen}(u)$ 为节点 $u$ 表示的字符串中最长 / 最短字符串长度。$\text{maxlen}$ 单独出现时也记作 $\text{len}$。

定义 / 性质

对于字符串 $s, |s| = n$ 的 SAM：

SAM 是接受一个字符串所有后缀的最小 DFA。

SAM 是一张 DAG，节点称为状态，边称为转移。转移边上标有字符。
初始状态唯一且能到达所有状态。
终止状态不唯一，初始状态到终止状态的路径上的转移构成一个 $s$ 的后缀。反之每个后缀可以由初始状态到一个终止状态的路径构成。
SAM 的节点个数、转移边个数、构造复杂度均为 $\mathcal{O}(n)$。具体地，节点个数最多为 $2n - 1$，转移边个数最多为 $3n - 4$。
SAM 中实际存储了 $s$ 的所有子串：
- SAM 是接受 $s$ 所有后缀的最小 DFA，也就是包含了所有后缀的前缀信息，即所有子串。
- SAM 是 $s$ 反串 $s'$ 的后缀树，存储了 $s'$ 后缀（即 $s$ 前缀）的前缀（即 $s$ 的前缀的后缀），即所有子串。

构成

endpos 等价类

对于一个 $s$ 的子串 $t$，记它在 $s$ 中所有结束位置（每次出现是一段连续的 $|t|$ 个字符，那么结束位置为这 $|t|$ 个字符的末尾）的集合为 $\text{endpos}(t)$。

若干个 $\text{endpos}$ 相等的 $t$，称为一个 $\text{endpos}$ 等价类。在 SAM 中，我们将 $\text{endpos}$ 等价类合并考虑，每个节点就是一个 $\text{endpos}$ 等价类。

可以发现一个性质，对于一个 $\text{endpos}$ 等价类，记其中字符串按照长度从小到大排序为 $t_{1, \cdots, m}$。那么 $\forall 1 \le i \lt m$：

$\text{len}(t_{i + 1}) = \text{len}(t_i) + 1$。
$t_i$ 为 $t_{i + 1}$ 的后缀。

举例：$s = \texttt{cdabcbcdabc}$。

$\text{endpos} = \{ 5, 11 \} : \texttt{cdabc, dabc, abc}$。
$\text{endpos} = \{ 5, 7, 11 \} : \texttt{bc}$。
$\text{endpos} = \{ 1, 5, 7, 11 \} : \texttt{c}$。

证明平凡：

$t_i$ 若不是 $t_{i + 1}$ 的后缀，则不会同时出现在一个位置。
若 $\text{len}(t_{i+1})\gt\text{len}(t_i)+1$，则存在一个 $t_{i + 1}$ 的后缀 $t'$，满足 $\text{len}(t') \gt \text{len}(t_i)$。

此时 $t_i$ 是 $t'$ 的后缀，那么只有 $t_i$ 出现 $t'$ 才能出现，则 $\text{endpos}(t') \subseteq \text{endpos}(t_i)$。

同理，因为 $t'$ 是 $t_{i + 1}$ 的后缀，$\text{endpos}(t_{i + 1}) \subseteq \text{endpos}(t')$。

又 $\text{endpos}(t_i) = \text{endpos}(t_{i + 1})$，所以 $\text{endpos}(t') = \text{endpos}(t_i) = \text{endpos}(t_{i + 1})$ 。$t'$ 也是这个等价类里面的。

转移 next & 后缀链接 link

转移边 $\text{next}(u, c) = v$ 满足 $u$ 代表的所有字符串在末尾加入字符 $c$ 后得到的结果在 $v$ 表示的等价类中。
显然不可能出现这些加了 $c$ 得到的字符串出现在两个 $\text{endpos}$ 等价类中，不然原来的字符串就不构成等价类了。

在代码中记为 st[u].nxt[c]。

对于节点 $u$，记 $\text{shortest}(u)$ 删去第一个字符所得的 $t'$ 所在的节点 $v$，定义 $\text{link}(u) = v$。

还是举例：$s = \texttt{cdabcbcdabc}$。

$\text{endpos}(A) = \{ 5, 11 \} : \texttt{cdabc, dabc, abc}$。
$\text{endpos}(B) = \{ 5, 7, 11 \} : \texttt{bc}$。
$\text{endpos}(C) = \{ 1, 5, 7, 11 \} : \texttt{c}$。

则 $\text{link}(A) = B, \text{link}(B) = C$。

在代码中记为 st[u].lnk。

后缀链接树

容易发现，对于所有点 $u$，将 $\text{link}(u)$ 向 $u$ 连边可以得到一棵树。

性质：后缀链接树上每个点 $u$ 的 $\text{endpos}(u)$ 为 $S \cup \left ( \bigcup _ {v \in \mathrm{son}(u)} \text{endpos}(v)\right ) $。

当 $\text{longest}(u)$ 为 $s$ 的一个前缀时，$S = \{ \text{len}(\text{longest}(u)) \}$。
否则 $S = \varnothing$。

证明平凡：

显然 $\text{longest}(u)$ 一定是所有出现在 $u$ 在后缀链接树上的子树（不为 $u$）的字符串的真后缀。
若 $\text{longest}(u)$ 不是 $s$ 的前缀，则一定作为真后缀出现在「「$u$ 在后缀链接树上的子树内所有点 $v$（$u \not = v$）」代表的字符串」中，故 $\text{endpos}(u) = \bigcup _ {v \in \mathrm{son}(u)} \text{endpos}(v)$。
否则只会多一个作为 $s$ 前缀出现的位置 $\text{len}(\text{longest}(u))$。

SAM 的后缀链接树实际上是 $s$ 反串 $s'$ 的后缀树。$s'$ 的后缀树是 $s'$ 所有后缀组成的 trie 上，对这些后缀的结束节点求虚树所得。
后缀树是把后缀按照前缀对齐，SAM 后缀链接树是把前缀按照后缀对齐。

线性建 SAM

点击查看代码

const int LEN = 2e6 + 5;
const int SIG = 26;struct SAM{struct state{int len, lnk, cnt;int nxt[SIG];} st[LEN << 1];int siz = 0;SAM(){siz = 0;st[0].len = 0;st[0].lnk = -1;}int new_node(){int x = ++siz;memset(st[x].nxt, 0, sizeof(int) * 26);return x;}int clone_node(int lst){int x = new_node();st[x].lnk = st[lst].lnk;st[x].len = st[lst].len;rep(i, 0, SIG - 1){st[x].nxt[i] = st[lst].nxt[i];}return x;}int extend(int c, int lst){int x = new_node();st[x].cnt = 1;st[x].len = st[lst].len + 1;int p = lst;while(p != -1 && !st[p].nxt[c]){st[p].nxt[c] = x;p = st[p].lnk;}if(p == -1){st[x].lnk = 0;return x;}int q = st[p].nxt[c];if(st[p].len + 1 == st[q].len){st[x].lnk = q;}else{int cl = clone_node(q);st[cl].len = st[p].len + 1;while(p != -1 && st[p].nxt[c] == q){st[p].nxt[c] = cl;p = st[p].lnk;}st[q].lnk = st[x].lnk = cl;}return x;}vector<int> tr[LEN << 1];void build_tr(){rep(x, 1, siz){tr[st[x].lnk].push_back(x);}}
} SAM;

算法流程（extend）函数：

传入字符 $c$（编码为数字，范围 $[0, |\Sigma|)$）和拓展节点 $lst$。
代表 extend 函数会给 $lst$ 节点构造出 $nxt_c$ 的节点并保证所有点的指针全部正确。
新建节点 $x$，$\text{len}(x) \leftarrow \text{len}(lst) + 1$。
由于 $x$ 的加入，更新一些原本为空的 $nxt_c$：

令 $p \leftarrow lst$。循环：
- 若 $\text{next}(p,c)$ 未定义，赋值为 $x$。
- 否则，跳出循环。
显然满足了对 $\text{next}$ 指针的定义。
给 $x$ 节点找 $\text{link}$，也就是找到 $\text{longest}(x)$ 的一个最长后缀满足不与 $\text{longest}(x)$ 在一个等价类里。
相当于找到 $\text{longest}(x)$ 的一个已经出现的最长后缀，记为 $t$。
- 若此时 $p$ 已经跳没了，即跳到了初始状态，则特判掉，$\text{link}(x)$ 赋值为初始状态。
- 否则，$t$ 就是 $\text{longest}(p)$ 添加 $c$ 得到，就在 $q = \text{next}(p, c)$ 中。
  这里是因为跳到这个 $p$ 以前经过的节点都没有 $\text{next}(...,c)$，说明其最长串加上 $c$ 得到的串（该串为 $\text{longest}(x)$ 的后缀）未曾出现。
  - 若 $\text{len}(q) = \text{len}(p) + 1$，即 $\text{longest}(q)$ 恰好为 $t$。
    直接令 $\text{link}(x) \leftarrow q$ 即可。
  - 否则，说明 $q$ 中存在一些字符串长度大于 $t$，显然这些字符串不会是 $\text{longest}(x)$ 的子串。
    那么我们发现，$q$ 这个等价类就出现了分化：长度小于等于 $t$ 的字符串的 $\text{endpos}$ 会新增，其他不变。
    也就是说，等价类 $q$ 已经解体。
    
    我们克隆一个节点 $cl$，继承 $q$ 除了 $\text{len}$ 以外的 $\text{next}$ 指针和 $\text{link}$ 指针。
    让它的 $\text{len}_{cl} \leftarrow \text{len}_p + 1$，代表原来 $q$ 中长度小于等于 $t$ 的。
    然后执行 $\text{link}(q), \text{link}(x) \leftarrow cl$。