17、狄拉克方程的洛伦兹协变性与代数变换

狄拉克方程的洛伦兹协变性与代数变换

在研究量子物理中的狄拉克方程时，洛伦兹协变性是一个关键的概念。它涉及到在不同的时空框架下，物理量和方程的形式如何保持一致。本文将深入探讨狄拉克方程在新的时间框架下的变换，以及相关代数结构在零场情况下的不变性。

1. 狄拉克态的新时间框架

我们从考虑具有时间相关势的狄拉克方程开始。哈密顿量 (H(t)) 的符号由下式给出：
[h(t; x, \xi) = \sum_{j=1}^{3} \alpha_j(\xi_j - A(t, x)) + \beta + V(t, x)]
一个物理态是希尔伯特空间 (H) 中的单位向量 (\psi(x))。当我们在由 boost 变换（6.0.2）给出的新时空框架中考虑这个物理态时，我们首先将 (\psi(x)) 扩展为闵可夫斯基空间 ({(t, x)}) 中狄拉克方程 (\dot{\psi} + iH\psi = 0) 的解，得到函数 (\psi(t, x))，然后将 (\psi(t, x)) 限制到新时空坐标 ((t’, x’)) 中的类空超平面 (t’ = 0) 上。

这个变换后的态 (\psi_{\Delta} = \psi_{\Delta}(x’)) 应该是希尔伯特空间 (H_{\Delta}) 中的单位向量。不过，在 (S’) 上 (C^4) 的内积不再是 (\psi^\chi)，而是 (\psi^\kappa^2\chi)，其中 (\kappa) 是一个特定的常数正定厄米对称矩阵。

boost 变换（6.0.2）可以缩写为：
[t’ = tc - x_1s, \quad x_1’ = -ts + x_1c, \quad x_