14、离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

1. 为何需要离散傅里叶变换（DFT）

1.1 从离散时间傅里叶变换（DTFT）说起

离散时间信号 (x(n)) 的傅里叶变换被称为离散时间傅里叶变换（DTFT），记为 (X(\omega))。这里的 (X(\omega)) 是频率 (\omega) 的连续函数。然而，这种连续函数形式在计算上并不方便，不利于对离散时间信号 (x(n)) 进行处理。为了解决这个问题，我们采用对其连续频谱进行采样的方式来表示序列，这种在频域对信号进行表示的方法就是离散傅里叶变换（DFT）。

1.2 数字计算机处理信号的选择

当我们使用数字计算机来确定信号的频率成分时，傅里叶级数和傅里叶变换（FT）并不适用，因为它们只适用于连续时间（CT）信号。数字计算机处理的是离散时间信号，那离散时间傅里叶变换（DTFT）呢？虽然它也适用于离散时间信号，但实际应用中存在困难。DTFT 适用于离散时间非周期信号，这类信号由无限多个正弦和余弦组成，计算每个组成部分的振幅需要耗费极长的时间，所以实际操作中并不实用。因此，离散傅里叶变换（DFT）成为了唯一可行的选择。

1.3 DFT 的应用

DFT 的主要应用是近似信号的傅里叶变换（FT）。其他应用，如卷积、滤波、相关和能量谱密度估计等，都是基于 DFT 对 FT 的近似。同时，DFT 还可用于对离散时间傅里叶变换（DTFT）进行离散频率近似，以及计算模拟信号傅里叶变换（FT）的近似值。

2. 窗口的概念

在实际应用中，我们无法对信号进行无限长时间的测量。通常，测量是在有限的时间内进行的，这个测量时间可以短至几毫秒，长至数小时。这个测量信号的