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剑指offer-46、孩⼦们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

news 2026/3/26 22:09:41

题目描述

有个游戏是这样的：⾸先，让 n 个⼩朋友们围成⼀个⼤圈，⼩朋友们的编号是0~n-1。然后，随机指定⼀个数 m ，让编号为0的⼩朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个⼩朋友要出列唱⾸歌，然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物，并且不再回到圈中，从他的下⼀个⼩朋友开始，继续 0... m-1报数....这样下去....直到剩下最后⼀个⼩朋友，可以不⽤表演，并且拿到⽜客礼品，请你试着想下，哪个⼩朋友会得到这份礼品呢？

示例
输⼊：5,3
输出：2

思路及解答

数组模拟

通过布尔数组标记小朋友的出局状态

public class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {if (n <= 0 || m <= 0) return -1;boolean[] out = new boolean[n]; // 标记是否出局int count = n;                  // 剩余人数int index = 0;                  // 当前报数位置int step = 0;                   // 报数计数器while (count > 1) {// 如果当前小朋友未出局，参与报数if (!out[index]) {step++;// 报到m-1的小朋友出局if (step == m) {out[index] = true;  // 标记出局count--;            // 剩余人数减1step = 0;           // 重置计数器}}// 移动到下一个位置（循环）index = (index + 1) % n;}// 找到最后一个未出局的小朋友for (int i = 0; i < n; i++) {if (!out[i]) {return i;}}return -1;}
}

时间复杂度：O(n×m)，最坏情况下每个小朋友都需要报数m次
空间复杂度：O(n)，需要长度为n的布尔数组

循环链表

使用循环链表模拟小朋友围成的圈，将小朋友存入链表，循环删除第m个元素

public class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {if (n <= 0 || m <= 0) return -1;List<Integer> list = new LinkedList<>();// 初始化链表，存入所有小朋友编号for (int i = 0; i < n; i++) {list.add(i);}int index = 0; // 当前指针位置while (list.size() > 1) {// 计算要删除的位置：(当前索引 + m-1) % 当前大小index = (index + m - 1) % list.size();list.remove(index);// 删除后index自动指向下一个元素，不需要移动}return list.get(0);}
}

时间复杂度：O(n×m)，需要遍历链表进行删除操作
空间复杂度：O(n)，需要存储n个节点

数学归纳法（推荐）

分析每次被删除的数字规律，直接计算出最后的数字，不需要模拟

F(N,M) = ( F(N−1,M) + M ) % N

递推公式的推导过程：

第一次删除：从0开始报数，删除第(m-1)%n个小朋友
重新编号：删除后，从第m%n个小朋友开始重新编号：
- 旧编号：m%n, m%n+1, ..., n-1, 0, 1, ..., m%n-1
- 新编号：0, 1, 2, ..., n-2
映射关系：新编号x对应的旧编号为(x + m) % n

示例验证（n=5, m=3）：

原始编号: 0, 1, 2, 3, 4
第一次删除编号2 → 剩余: 0, 1, 3, 4
重新编号: 3→0, 4→1, 0→2, 1→3
f(5,3) = (f(4,3) + 3) % 5

public class Solution {public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {if (n <= 0 || m <= 0) {return -1;}int result = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {result = (result + m) % n;}return result;}
}

时间复杂度：O(n)，需要n次递归调用
空间复杂度：O(n)，递归调用栈深度

迭代优化

将递归转为迭代，避免栈溢出风险，是生产环境的最佳选择

public class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {if (n <= 0 || m <= 0) return -1;int result = 0; // f(1, m) = 0// 从2个人情况开始，逐步计算到n个人for (int i = 2; i <= n; i++) {result = (result + m) % i;}return result;}
}