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【ABC135F】Strings of Eternity

news 2026/3/26 23:07:27

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- 题目概括
- 判断无穷解
- 对于有限解
- 代码
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鲜花：老骥伏枥，志在伏枥。

推歌：【GUMI】恋空予報【電ポルP】

题面自己看。

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题目概括

嘻嘻。

判断无穷解

以下记字符串 \(t\) 重复 \(i\) 为 \(t^i\)，\(s^j\) 同理。

首先考虑无穷解的问题。

对于任何什么东西，如果他有一个循环周期为 \(p\)，另一个循环周期为 \(s\)，那么它存在循环周期是 \(gcd(s,p)\)，不难证明。

考虑到两个字符串 \(s^{\infty}\) 和 \(t^{\infty}\)，如果两个字符串匹配长度非常长，超过了两个串的循环周期 \(\lvert s \rvert\) 和 \(\lvert t \rvert\) 之和，那么两个串一定是由同一个更小的大小为 \(gcd(\lvert s\rvert,\lvert t\rvert)\) 循环节产生的。

但是 \(s\) 和 \(t\) 串存在“错位”是正常的，而如果能够匹配无限长的区间，错位的长度最长是 \(\lvert s\rvert+\lvert t\rvert-gcd(\lvert s\rvert,\lvert t\rvert)\)。

一旦匹配的长度超过 \(\lvert s\rvert+\lvert t\rvert-gcd(\lvert s\rvert,\lvert t\rvert)\)，后面的部分会因为周期的力量自动对齐，永远匹配下去。

将 \(t\) 的长度延申至 \(\lvert s\rvert+\lvert t\rvert-gcd(\lvert s\rvert,\lvert t\rvert)\)，\(s\) 比 \(t\) 大一个循环节，通过 kmp 匹配，\(t\) 能被全部匹配，那就是无限匹配的。