DE-9IM 空间谓词的关系属性
原文：Relational Properties of DE-9IM spatial predicates
作者：Martin Davis
日期：2022年10月
概述
本文深入探讨了 DE-9IM（维度扩展的 9 交集模型）空间谓词的数学理论，包括它们在自反性、对称性和传递性方面的分类。这些属性对于理解和正确使用空间关系至关重要。
DE-9IM 模型回顾
DE-9IM 是 OGC（开放地理空间联盟）定义的标准空间关系模型。它通过比较两个几何图形的内部（Interior）、边界（Boundary）和外部（Exterior）来描述它们之间的关系。
9 交集矩阵
几何 BI B EI [ dim dim dim ]
几何 AB [ dim dim dim ]E [ dim dim dim ]
其中：
- I = Interior（内部）
- B = Boundary（边界）
- E = Exterior（外部）
- dim = 交集的维度（-1=空, 0=点, 1=线, 2=面）
标准空间谓词
DE-9IM 定义了以下标准空间谓词：
| 谓词 | 描述 | DE-9IM 模式 |
|---|---|---|
| Equals | 拓扑相等 | TF**FFF |
| Disjoint | 不相交 | FFFF*** |
| Intersects | 相交 | T******** 或 T****** 或 T** 或 T |
| Touches | 接触 | FT******* 或 FT*** 或 FT* |
| Crosses | 交叉 | 取决于几何类型 |
| Within | A 在 B 内部 | TFF |
| Contains | A 包含 B | T*****FF* |
| Overlaps | 重叠 | 取决于几何类型 |
| Covers | A 覆盖 B | T*****FF* 或 T**FF 或 TFF 或 **TFF |
| CoveredBy | A 被 B 覆盖 | TFF 或 TFF 或 FTF 或 FTF |
关系属性分类
1. 自反性（Reflexivity）
自反关系是指几何图形与自身的关系。
自反谓词（Reflexive）
对于任意几何 A：R(A, A) = true
- Equals: A.equals(A) = true
- Intersects: A.intersects(A) = true
- Covers: A.covers(A) = true
- CoveredBy: A.coveredBy(A) = true
非自反谓词（Irreflexive）
对于任意几何 A：R(A, A) = false
- Disjoint: A.disjoint(A) = false
- Touches: A.touches(A) = false
- Crosses: A.crosses(A) = false
- Overlaps: A.overlaps(A) = false
2. 对称性（Symmetry）
对称关系是指关系在交换操作数后保持不变。
对称谓词（Symmetric）
R(A, B) = R(B, A)
- Equals: A.equals(B) ⟺ B.equals(A)
- Disjoint: A.disjoint(B) ⟺ B.disjoint(A)
- Intersects: A.intersects(B) ⟺ B.intersects(A)
- Touches: A.touches(B) ⟺ B.touches(A)
- Crosses: A.crosses(B) ⟺ B.crosses(A)
- Overlaps: A.overlaps(B) ⟺ B.overlaps(A)
非对称谓词（Asymmetric）
R(A, B) ≠ R(B, A)（一般情况下）
- Within/Contains: A.within(B) ⟺ B.contains(A)
- Covers/CoveredBy: A.covers(B) ⟺ B.coveredBy(A)
3. 传递性（Transitivity）
传递关系是指如果 R(A, B) 和 R(B, C) 为真，则 R(A, C) 也为真。
传递谓词（Transitive）
R(A, B) ∧ R(B, C) → R(A, C)
- Equals: A.equals(B) ∧ B.equals(C) → A.equals(C)
- Within: A.within(B) ∧ B.within(C) → A.within(C)
- Contains: A.contains(B) ∧ B.contains(C) → A.contains(C)
- Covers: A.covers(B) ∧ B.covers(C) → A.covers(C)
- CoveredBy: A.coveredBy(B) ∧ B.coveredBy(C) → A.coveredBy(C)
非传递谓词（Non-transitive）
- Intersects: A.intersects(B) ∧ B.intersects(C) ↛ A.intersects(C)
- Touches: A.touches(B) ∧ B.touches(C) ↛ A.touches(C)
- Overlaps: A.overlaps(B) ∧ B.overlaps(C) ↛ A.overlaps(C)
属性汇总表
| 谓词 | 自反性 | 对称性 | 传递性 |
|---|---|---|---|
| Equals | ✓ | ✓ | ✓ |
| Disjoint | ✗ | ✓ | ✗ |
| Intersects | ✓ | ✓ | ✗ |
| Touches | ✗ | ✓ | ✗ |
| Crosses | ✗ | ✓ | ✗ |
| Within | ✓ | ✗ | ✓ |
| Contains | ✓ | ✗ | ✓ |
| Overlaps | ✗ | ✓ | ✗ |
| Covers | ✓ | ✗ | ✓ |
| CoveredBy | ✓ | ✗ | ✓ |
实际应用
1. 空间查询优化
了解谓词的传递性可以优化空间查询：
// 利用 Contains 的传递性优化嵌套查询
// 如果已知 A contains B 且 B contains C
// 则无需测试 A contains C（一定为 true）boolean aContainsB = a.contains(b);
boolean bContainsC = b.contains(c);// 利用传递性跳过测试
if (aContainsB && bContainsC) {// a.contains(c) 必然为 trueaContainsC = true;
}
2. 空间索引设计
对称谓词可以简化空间索引的设计：
// 对于对称谓词，只需要单向索引
// A.intersects(B) = B.intersects(A)// 非对称谓词需要注意方向
// A.within(B) != B.within(A)
3. 数据验证
利用自反性进行数据验证：
// 每个几何图形应该与自身相等
for (Geometry g : geometries) {if (!g.equals(g)) {System.out.println("警告：几何图形不与自身相等（可能存在问题）");}
}
补充谓词
除了标准谓词外，DE-9IM 还支持自定义谓词：
// 使用自定义 DE-9IM 模式
String customPattern = "T*T***T**"; // 自定义关系
boolean matches = geomA.relate(geomB, customPattern);
总结
理解 DE-9IM 空间谓词的数学属性对于正确使用空间关系至关重要。自反性、对称性和传递性的知识可以帮助优化空间查询、设计更好的空间索引，并避免常见的逻辑错误。
参考资料
- DE-9IM 维基百科
- OGC Simple Features 规范
- PostGIS DE-9IM 教程