先验是在观察数据或证据之前基于已有知识形成的判断或信念。
后验是在观察数据或证据之后，综合了新旧信息更新而成的判断或信念。
贝叶斯公式:
\[P(D|T) = \frac{ P(T|D) × P(D) }{P(T)}
\]
例子:疾病检测
先验：某疾病在总人口中的患病率是1%（基于历史数据）。
证据：小明做了该疾病的检测，结果为阳性。已知检测的准确率（真阳性率）为95%，误报率（假阳性率）为5%。
后验：根据贝叶斯公式计算，在检测为阳性的条件下，小明真正患病的概率可能只有约16%，而不是95%。这个16%就是后验概率，它修正了仅看到阳性结果时的直觉（先验信息“患病率低”起到了关键作用）。
怎么算的？
我们假设：
- 事件 D：实际上患病。
- 事件 T：检测结果为阳性。
已知数据：
- 先验概率（患病率）：
P(D) = 0.01(1%)。这意味着在检测前，随机一个人患病的概率是1%。相应地，健康的概率P(非D) = 0.99。 - 检测的灵敏度（真阳性率）：
P(T|D) = 0.95(95%)。这表示，如果一个人真的患病，检测结果为阳性的概率是95%。 - 误报率（假阳性率）：
P(T|非D) = 0.05(5%)。这表示，如果一个人健康，检测结果却错误显示为阳性的概率是5%。
我们的目标是计算 后验概率 P(D|T)，即在检测结果为阳性的条件下，小明真正患病的概率是多少？
贝叶斯公式:
\[P(D|T) = \frac{ P(T|D) × P(D) }{P(T)}
\]
其中 P(T) 是检测结果为阳性的总概率。阳性结果可能来自两部分人：真阳性（患病且检测阳性）和 假阳性（健康但检测阳性）。
因此，我们需要先计算 P(T)，下边用!D表示非D：
\[P(T) = P(T|D) × P(D) + P(T|!D) × P(!D) \\P(T) = (0.95 × 0.01) + (0.05 × 0.99) \\P(T) = 0.0095 + 0.0495 \\P(T) = 0.059
\]
现在我们将所有值代入贝叶斯公式：
\[P(D|T) = [ P(T|D) × P(D) ] / P(T) \\P(D|T) = (0.95 × 0.01) / 0.059 \\P(D|T) = 0.0095 / 0.059 \\P(D|T) ≈ 0.161
\]
所以，P(D|T) ≈ 16.1%。
为什么直觉是错的？
我们可以通过想象一个包含10000人的大样本来直观理解：
我们来看所有检测为阳性的人：
- 真阳性：10,000 × 1% × 95% = 95人（患病且检测阳性）
- 假阳性：10,000 × 99% × 5% =495人（健康但检测阳性）
- 阳性总人数：95 + 495 = 590人
在所有检测出阳性的人（590人）里，绝大多数（495人）其实都是健康的假阳性！这是因为健康人群的基数（9900人）太大了，即使误报率很低（5%），产生的假阳性绝对数量也会远远超过真阳性。