20260117 省选模拟赛
https://htoj.com.cn/cpp/oj/contest/detail?cid=22635323962240
Problem A. 染色
神秘性质。
从小的向大的染色需要考虑后面很多东西，不好做。所以反过来，从大向小做。
假设要将 \(S\) 染为红色，那么 枚举子集 \(T\) 作为蓝色子集的并集。此时 \(T\) 一定是蓝色，\(Z\subseteq S\land Z\not\subseteq T\) 的 \(Z\) 都是红色。\(T\) 构成子问题，\(O(3^n)\) dp 即可。
枚举子集太费时间，考虑怎么一次缩一个点。\(S\) 内一定有一个 \(x\)，使得 \(x\in Z\subseteq S\) 的 \(Z\) 都是红色，否则所有蓝色集合的并就是 \(S\) 了。枚举这个 \(x\)，即可 \(O(2^nn)\)。
Problem B. 信号过滤
如果只有一个滤波器，考虑维护被屏蔽的集合 \(S\)，每次通带扩展时暴力删除，查询时在树状数组上查即可。
有多个滤波器，总势能达到 \(O(nq)\)，不能直接做。
根号分治，设阈值 \(B\)。若这个滤波器有 \(>B\) 个操作，那么沿用上面的做法。维护集合时改为 ODT 维护通带，插入新通带时找出新增的位置。此时有 \(O(\frac{nq}{B})\) 次插入，\(O(q)\) 次查询，需要用 \(O(1)-O(\sqrt{n})\) 的分块平衡。
若这个滤波器有 \(\le B\) 次操作，那么 通带连续段不超过 \(B\) 个。维护通带连续段，每次查询时枚举每个连续段，是个二维偏序的形式。有 \(O(n)\) 次修改，\(O(qB)\) 次查询，需要 \(O(\sqrt{n})-O(1)\) 分块平衡。直接离线所有询问空间炸了，但 不同的连续段总共只有 \(O(q)\) 个，所以扫值域维，维护序列维，只离线这些区间即可。
总复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。
int n,Q,m,a[N];
int c[N],K;
int ans[N];namespace Subtask1{set<int> s;int tr[N];vector<int> vec[N]; void Update(int x,int v){for(;x<=n;x+=x&-x) tr[x]+=v;}int Ask(int x){int res=0;for(;x;x-=x&-x) res+=tr[x];return res;}void Solve(){for(int i=1;i<=K;i++) s.emplace_hint(end(s),i);for(int i=1;i<=n;i++) vec[a[i]].push_back(i);while(Q--){int op; read(op);if(op==1){int l,r,k;read(l),read(r),read(k);l=lower_bound(c+1,c+K+1,l)-c;r=upper_bound(c+1,c+K+1,r)-c-1;if(l>r) continue;auto it=s.lower_bound(l);while(it!=s.end()&&*it<=r){for(int p:vec[*it]) Update(p,1);it=s.erase(it);}}else{int l,r,k;read(l),read(r),read(k);printf("%d\n",Ask(r)-Ask(l-1));}}}
}const int B=550,D=M/B;namespace Subtask2{bool out[M];vector<int> vec[M];struct Query{int op,l,r,k,id;bool operator < (const Query& tmp)const{return k<tmp.k||(k==tmp.k&&id<tmp.id);}}qy[M];namespace Small{int L[D+5],R[D+5],bl[M],C,s1[M],s2[D+5];void Update(int x,int v){for(int i=x;i<=R[bl[x]];i++) s1[i]+=v;for(int i=bl[x];i<=C;i++) s2[i]+=v; }int Ask(int x){return s1[x]+s2[bl[x]-1];}int Ask(int l,int r){return Ask(r)-Ask(l-1);}struct Node{int l,r,v;};vector<Node> q[M];struct Line{int l,r;bool operator < (const Line& tmp)const{return l<tmp.l||(l==tmp.l&&r<tmp.r);}};set<Line> s;map<Line,int> mp;void Add(int l,int r,int t){q[l-1].push_back(Node{mp[{l,r}],t,-1});q[r].push_back(Node{mp[{l,r}],t,1});}void Insert(int l,int r,int t){auto it=s.lower_bound({l,-IINF});if(it!=s.begin()&&prev(it)->r>=l-1){if(prev(it)->r>=r) return;Add(prev(it)->l,prev(it)->r,t-1);l=prev(it)->l;it=s.erase(prev(it));} while(it!=s.end()&&it->r<=r){Add(it->l,it->r,t-1);it=s.erase(it);}if(it!=s.end()&&it->l<=r+1){Add(it->l,it->r,t-1);r=it->r,s.erase(it);}s.insert({l,r}); mp[{l,r}]=t;}void Solve(int ql,int qr){s.clear(),mp.clear();for(int i=ql;i<=qr;i++){if(qy[i].op==2) continue;qy[i].l=lower_bound(c+1,c+K+1,qy[i].l)-c;qy[i].r=upper_bound(c+1,c+K+1,qy[i].r)-c-1;if(qy[i].l>qy[i].r) continue;Insert(qy[i].l,qy[i].r,i);}for(Line i:s) Add(i.l,i.r,qr);}void SolveAll(){for(int i=1;i<=n;i+=B){++C; L[C]=i,R[C]=min(i+B-1,n);for(int j=L[C];j<=R[C];j++) bl[j]=C;}for(int i=1;i<=K;i++){for(int j:vec[i]) Update(j,1);for(Node j:q[i]){for(int k=j.l;k<=j.r;k++)if(qy[k].op==2){ans[qy[k].id]+=j.v*Ask(qy[k].l,qy[k].r);}}}}}namespace Big{struct Line{int l,r;bool operator < (const Line& tmp)const{return l<tmp.l||(l==tmp.l&&r<tmp.r);}};set<Line> s;int L[D+5],R[D+5],bl[M],C,s1[M],s2[M];void Clear(){for(int i=1;i<=n;i++) s1[i]=s2[i]=0;s.clear();}void Build(){for(int i=1;i<=n;i+=B){++C; L[C]=i,R[C]=min(n,i+B-1);for(int j=L[C];j<=R[C];j++) bl[j]=C;}}void Update(int x,int v){s1[x]+=v;s2[bl[x]]+=v;}int Ask(int l,int r){int p=bl[l],q=bl[r],res=0;if(p==q){for(int i=l;i<=r;i++) res+=s1[i];return res;}for(int i=l;i<=R[p];i++) res+=s1[i];for(int i=L[q];i<=r;i++) res+=s1[i];for(int i=p+1;i<=q-1;i++) res+=s2[i];return res;}void Perform(int l,int r){for(int i=l;i<=r;i++){for(int j:vec[i])Update(j,1);}}void Insert(int l,int r){auto it=s.lower_bound({l,-IINF});int lst=l;if(it!=s.begin()&&prev(it)->r>=l-1){if(prev(it)->r>=r) return;l=prev(it)->l;lst=prev(it)->r+1;it=s.erase(prev(it));}while(it!=s.end()&&it->r<=r){Perform(lst,it->l-1);lst=it->r+1; it=s.erase(it);}if(it!=s.end()&&it->l<=r+1){Perform(lst,it->l-1);r=it->r; s.erase(it);}else Perform(lst,r);s.insert({l,r});}void Solve(int ql,int qr){Clear();for(int i=ql;i<=qr;i++){if(qy[i].op==1){qy[i].l=lower_bound(c+1,c+K+1,qy[i].l)-c;qy[i].r=upper_bound(c+1,c+K+1,qy[i].r)-c-1;if(qy[i].l<=qy[i].r) Insert(qy[i].l,qy[i].r);}else ans[qy[i].id]=Ask(qy[i].l,qy[i].r);}}}void Solve(){for(int i=1;i<=n;i++) vec[a[i]].push_back(i);for(int i=1;i<=Q;i++){read(qy[i].op),read(qy[i].l),read(qy[i].r),read(qy[i].k);qy[i].id=i;if(qy[i].op==2) out[i]=1;}sort(qy+1,qy+Q+1);Big::Build();for(int i=1;i<=Q;){int j=i;while(j<Q&&qy[i].k==qy[j+1].k) ++j;if(j-i+1<=B) Small::Solve(i,j);else Big::Solve(i,j);i=j+1;}Small::SolveAll();for(int i=1;i<=Q;i++)if(out[i]) printf("%d\n",ans[i]);}
}signed main(){FileIO();read(n),read(Q),read(m);for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=a[i];sort(c+1,c+n+1);K=unique(c+1,c+n+1)-c-1;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=lower_bound(c+1,c+K+1,a[i])-c;}if(m==1) Subtask1::Solve();else Subtask2::Solve();return 0;
}