Problem
19.2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行。在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友。运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球、羽毛球、篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球、羽毛球、篮球）徽章。两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同。为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了 $ n(n \in N^*) $次交换。
(1) 求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2) 求 $ n $ 次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率(结果用含n的式子表示)；
(3) 求 $ n $ 次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球、羽毛球、篮球3项运动的概率(结果用含 $ n $ 的式子表示)，并求出这个概率的最大值。
Solution
(1)
略
(2)
记 $ A_n $ 为第 $ n $ 次交换后徽章主题都相同。则乙要么徽章主题都相同，要么有一个与其他两个不同。
记 $ P( A_n ) = a_n $ ，$ a_1 = 0 $ 则
\[\begin{aligned}a_{n+1} &= \frac{1}{9} (1 - a_n) \\
a_{n+1} -\frac{1}{10} &= -\frac{1}{9}(a_n - \frac{1}{10}) \\
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\therefore
a_n &= (-\frac{1}{9})^{n-1} (a_1 -\frac{1}{10})+\frac{1}{10} \\
a_n &= \frac{9}{10}(-\frac{1}{9})^{n} +\frac{1}{10}
\end{aligned}
\]
(3)
记 $ B_n $ 为第 $ n $ 次交换后甲有三项运动徽章。则甲的徽章要么运动种类都相同，要么有两个相同。
记 $ P(B_n) = b_n $ ，$ b_1 = \frac{1}{3} $ 则
\[\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{1}{3}b_n + \frac{4}{9}(1-b_n)\\b_{n+1}-\frac{2}{5} &= -\frac{1}{9}(b_n-\frac{2}{5})\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\therefore
b_n &= (-\frac{1}{9})^{n-1} (b_1 -\frac{2}{5})+\frac{2}{5} \\
b_n &= -\frac{1}{15}(-\frac{1}{9})^{n-1}+\frac{2}{5} \\
b_n &= -\frac{3}{5}(-\frac{1}{9})^{n}+\frac{2}{5}
\end{aligned}
\]
分析可得，
当 $ n $ 为奇数时，$ \frac{1}{3} \le b_n <\frac{2}{5}$，
当 $ n $ 为偶数时，$ b_n \le \frac{11}{27} $。
所以当 $ n=2 $ 时，$ b_n $ 取到最大值 $ \frac{11}{27} $。