BST，Treap学习随笔
0 前言
学习随笔
1 BST
二叉查找树
1.1 性质
对于一个点来说
左子树中所有权值均小于当前点权值小于右子树中所有点权值
还有一个神奇的性质：
中序遍历一下 发现天然有序
上图中序遍历即为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
1.2 支持基本操作
插入（\(logn\)）（最坏\(n\)）
删除（\(logn\)）（最坏\(n\)）
找v在树上大小排第几（\(logn\)）（最坏\(n\)）
求第k小（\(logn\)）（最坏\(n\)）
求前驱（权值严格小于v的最大值）（\(logn\)）（最坏\(n\)）
求后继（全职严格大于v的最小值）（\(logn\)）（最坏\(n\)）
（因为对于同一棵树满足BST性质的形状有很多种，在一些数据下树会变成一条链，从而使操作都退化到\(O(n)\)）
1.3 维护
因为Treap为BST升级版，基本操作都一样，所以直接看Treap的维护吧
2 Treap
杂交数据结构
Treap=BST（二叉查找树）+Heap（堆）
2.1 性质
既满足BST（点权）
又满足Heap（我们给点附的优先值，这里优先值是rand出来的）（可以有效避免退化成一条链的情况）
优先值满足大根堆性质（小根堆也行 只要是个堆即可）
2.2 支持操作
插入（\(logn\)）
删除（\(logn\)）
找v在树上大小排第几（\(logn\)）
求第k小（\(logn\)）
求前驱（权值严格小于v的最大值）（\(logn\)）
求后继（全职严格大于v的最小值）（\(logn\)）
（因为有了rand出的优先级 树在没有被神秘宇宙射线影响的情况下是不会退化到链的）
2.3 维护
2.3.1 点的信息
struct node{int l,r,val,siz,cnt;//左节点，右节点，权值，子树大小（含自己），自己有几个unsigned pri;//随机生成的优先值
}a[N];
2.3.2 插入
2.3.2.1 zig,zag
发现严重问题：如何同时维护两个性质
我们左思右想 决定先满足其中一个性质
先满足BST性质
首先在原树上找到应该放当前权值的位置
然后需要在不破坏当前BST性质的情况下使rand出的优先值满足Heap
于是发明出zig（右旋），zag（左旋）操作
对应不同需交换情况
/*Y X/ => / \X zig A Y / \ /
A B BY X\ => / \X zag Y B/ \ \
A B A*/
发现原本的BST性质没有被破坏且X，Y父子关系还交换了
这就很像Heap中的挂在叶子节点一直往上交换的操作
size更新的时候需注意：我们在插入重复值时是直接把当前权值对应点中的cnt++
因此计算size时需要加上自己的cnt
void siz_update(int u){if(!u)return;a[u].siz=a[a[u].l].siz+a[a[u].r].siz+a[u].cnt;//加上自己的个数
}void zig(int &y){//右旋 将y与y的左子树交换//& 是为了方便直接将当前访问的y的值改变为x int x=a[y].l;//y的左子树a[y].l=a[x].r;//将x的右子树挂在y的左子树上a[x].r=y;//将y挂在x的左子树上siz_update(y);//先更新y的size（因为y现在在x下面）siz_update(x);//再更新x的sizey=x;
}void zag(int &y){//左旋 将y与y的右子树交换int x=a[y].r;//y的右子树a[y].r=a[x].l;//将x的左子树挂在y的右子树上a[x].l=y;//将y挂在x的左子树上siz_update(y);//更新sizesiz_update(x);y=x;
}
2.3.2.2 Insert
有了zig，zag我们就可以愉快地insert了
int add(int v){a[++tot]={0,0,v,1,1,rnd()};//l,r初始化为0 表示没有左节点和右节点 //val=v//siz和cnt初始化为1//pri优先级rand一下return tot;
}
void Insert(int &rt,int v){//& 也是方便直接改值if(!rt){//扫到叶子节点了rt=add(v);siz_update(rt);//别忘了更新大小return;}if(v==a[rt].val){//有这个权值了a[rt].cnt++;//直接加siz_update(rt);//依旧别忘了更新return;}else if(v<a[rt].val){//比当前权值小 说明还要往左走Insert(a[rt].l,v);//以左节点为根继续维护if(a[a[rt].l].pri<a[rt].pri){//维护Heap的性质 这里只可能是左节点有问题zig(rt);//右旋交换}}else if(v>a[rt].val){//同上Insert(a[rt].r,v);if(a[a[rt].r].pri<a[rt].pri){zag(rt);}}siz_update(rt);//别忘了更新
}
2.3.3 删除
void Erase(int &rt,int v){if(!rt){//找到了 返回return;}if(v==a[rt].val){//找到了if(a[rt].cnt>1){//还有 直接减a[rt].cnt--;siz_update(rt);//别忘了更新！return;}else if(!a[rt].l&&!a[rt].r){//交换到了叶子节点就可以直接删除了rt=0;//直接一直返回return;}else if(!a[rt].r||(a[rt].l&&a[a[rt].l].pri>a[a[rt].r].pri)){//没有右子树 或者有左子树并且左子树优先级比右子树优先级大zig(rt);//右旋上来Erase(a[rt].r,v);//交换过后原本要删的点在右边}else if(!a[rt].l||(a[rt].r&&a[a[rt].r].pri>a[a[rt].l].pri)){//没有左子树 或者有右子树并且右子树优先级比左子树优先级大zag(rt);//左旋上来Erase(a[rt].l,v);//交换后原本要删的点在左边}}else if(v<a[rt].val){//找左子树Erase(a[rt].l,v);}else if(v>a[rt].val){//找右子树Erase(a[rt].r,v);}siz_update(rt);//更新！！！！！！
}
2.3.4 查找排名
int Rank(int rt,int v){if(!rt)return 1;//空树则自己就是第一if(v==a[rt].val){//找到了return a[a[rt].l].siz+1;//左子树中所有一定比自己小 加一就是排名}else if(v<a[rt].val){return Rank(a[rt].l,v);//一定在左子树中排名}else{return a[a[rt].l].siz+a[rt].cnt+Rank(a[rt].r,v);//左子树大小加中间点个数再加右子树中排名}
}2.3.5 找第k小
int kth(int rt,int k){if(!rt)return -1;//没找到if(k<=a[a[rt].l].siz){//如果还没左子树大小大 说明在左子树中return kth(a[rt].l,k);//递归左子树}k-=a[a[rt].l].siz;//如果比左子树大就减去if(k<=a[rt].cnt){//剩下的比中间点个数小 说明就是中间点return a[rt].val;}k-=a[rt].cnt;//还大 减去return kth(a[rt].r,k);//递归右子树
}
2.3.6 找前驱/后继
int ask_pre(int rt,int v){//前驱int res=-INF;//初始化为极小值while(rt){//一直找到底才是严格小于他的最大值if(v<=a[rt].val){//大了rt=a[rt].l;//往左边找小的}else{res=a[rt].val;//够了rt=a[rt].r;//往右边找有没有正在比v小的情况下更大的值}}return res;
}int ask_nex(int rt,int v){//后继 细节同上int res=INF;while(rt){if(v>=a[rt].val){rt=a[rt].r;}else{res=a[rt].val;rt=a[rt].l;}}return res;
}
2.4 模板题
【模板】普通平衡树
附上代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long longconst int N=2e5+5;
const int INF=0x3f3f3f3f3f3f3f;static unsigned seed=(unsigned)chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count();
unsigned rnd(){seed^=seed<<12,seed^=seed>>5,seed^=seed<<11;return seed;
}
struct node{int l,r,val,siz,cnt;unsigned pri;
}a[N];
int tot=0;
int root=0;
int n;int add(int v){a[++tot]={0,0,v,1,1,rnd()};return tot;
}void siz_update(int u){if(!u)return;a[u].siz=a[a[u].l].siz+a[a[u].r].siz+a[u].cnt;}void zig(int &y){int x=a[y].l;a[y].l=a[x].r;a[x].r=y;siz_update(y);siz_update(x);y=x;
}void zag(int &y){int x=a[y].r;a[y].r=a[x].l;a[x].l=y;siz_update(y);siz_update(x); y=x;
}void Insert(int &rt,int v){if(!rt){rt=add(v);siz_update(rt);return;}if(v==a[rt].val){a[rt].cnt++;siz_update(rt);return;}else if(v<a[rt].val){Insert(a[rt].l,v);if(a[a[rt].l].pri<a[rt].pri){zig(rt);}}else if(v>a[rt].val){Insert(a[rt].r,v);if(a[a[rt].r].pri<a[rt].pri){zag(rt);}}siz_update(rt);
}void Erase(int &rt,int v){if(!rt){return;}if(v==a[rt].val){if(a[rt].cnt>1){a[rt].cnt--;siz_update(rt);return;}else if(!a[rt].l&&!a[rt].r){rt=0;return;}else if(!a[rt].r||(a[rt].l&&a[a[rt].l].pri>a[a[rt].r].pri)){zig(rt);Erase(a[rt].r,v);}else if(!a[rt].l||(a[rt].r&&a[a[rt].r].pri>a[a[rt].l].pri)){zag(rt);Erase(a[rt].l,v);}}else if(v<a[rt].val){Erase(a[rt].l,v);}else if(v>a[rt].val){Erase(a[rt].r,v);}siz_update(rt);
}int Rank(int rt,int v){if(!rt)return 1;if(v==a[rt].val){return a[a[rt].l].siz+1;}else if(v<a[rt].val){return Rank(a[rt].l,v);}else{return a[a[rt].l].siz+a[rt].cnt+Rank(a[rt].r,v);}
}int kth(int rt,int k){if(!rt)return -1;if(k<=a[a[rt].l].siz){return kth(a[rt].l,k);}k-=a[a[rt].l].siz;if(k<=a[rt].cnt){return a[rt].val;}k-=a[rt].cnt;return kth(a[rt].r,k);
}int ask_pre(int rt,int v){int res=-INF;while(rt){if(v<=a[rt].val){rt=a[rt].l;}else{res=a[rt].val;rt=a[rt].r;}}return res;
}int ask_nex(int rt,int v){int res=INF;while(rt){if(v>=a[rt].val){rt=a[rt].r;}else{res=a[rt].val;rt=a[rt].l;}}return res;
}signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>n;while(n--){int op,x;cin>>op>>x;if(op==1){Insert(root,x);}else if(op==2){Erase(root,x);}else if(op==3){cout<<Rank(root,x)<<endl;}else if(op==4){cout<<kth(root,x)<<endl;}else if(op==5){cout<<ask_pre(root,x)<<endl;}else if(op==6){cout<<ask_nex(root,x)<<endl;}}return 0;
}完结撒花🎉🎉🎉