T2
AT_abc427_e Wind Cleaning
神秘搜索
直接模拟移动障碍物的过程搜索，用 set 记录所有障碍物的位置，对于每次移动改变所有障碍物的位置，超出网格则删掉，然后标记搜过的状态，用 map 记录每一个 set 的状态是否被访问过即可。
注意 map 可以存储各种状态但是 unordered_map 不行。set 某种程度上同理，总之如果使用 unordered 报错的话就换成普通 STL 容器即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,stx,sty;
typedef pair<int,int> pii;
set<pii> st,w;
int dx[4] = {0,-1,0,1};
int dy[4] = {1,0,-1,0};
struct node
{set<pii> s;int stp;
};
queue <node> q;
map<set<pii>,bool> mp;
char s;
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = 1;j <= m;j++){cin >> s;if (s == 'T') stx = i,sty = j;else if (s == '#') st.insert({i,j});}q.push({st,0});while(q.size()){node t = q.front(); q.pop();if (mp[t.s]) continue;mp[t.s] = 1;if (!t.s.size()){cout << t.stp << "\n";return 0;}for (int i = 0;i < 4;i++){w.clear();bool f = 1;for (auto it:t.s){int tx = it.first+dx[i];int ty = it.second+dy[i];if (tx<1||ty<1||tx>n||ty>m) continue;if (tx == stx && ty == sty){f = 0;break;}w.insert({tx,ty});}if (f) q.push({w,t.stp+1});}}cout << -1;return 0;
}
T4
AT_abc425_g Sum of Min of XOR
01trie
注意到若 \(m\) 的范围比较小的话是可以直接枚举在 01-trie 上匹配的，范围太大启发我们对于一个区间内的数字同时操作，具体地，注意到若 \(m\) 的范围在 \([0,2^k-1]\)，即对应一个满二叉树，那么每一棵子树内的数字个数是一定的，此时可以便利的计算每一位上的贡献：若当前点子树内共有 \(cnt\) 个数字，当前点只有一个儿子时，另一个儿子子树内的所有数字都会在此处造成贡献，所以共造成 \(cnt/2*(1<<i)\) 的贡献，\(i\) 表示当前是第几位。
但是 \(m\) 的范围并非如此理想，于是稍微使用一点小巧思，将 \(m\) 分为若干个长度为 \(2^k\) 的区间，对于每一个 \([x,x+2^k-1]\)，找到这段区间的祖先，子树内就满足数字平均了，dfs即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,tr[50000010][2],tot,x;
long long ans;
void insert(int x)
{int p = 0;for (int i = 30;i >= 0;i--){int s = x>>i&1;if (!tr[p][s]) tr[p][s] = ++tot;p = tr[p][s];}
}
void dfs(int p,long long cnt,int dep)
{if (tr[p][0] && tr[p][1]){dfs(tr[p][0],cnt/2,dep-1);dfs(tr[p][1],cnt/2,dep-1);}else if (tr[p][0] && !tr[p][1]){ans += cnt*(1<<dep)/2;dfs(tr[p][0],cnt,dep-1);}else if (!tr[p][0] && tr[p][1]){ans += cnt*(1<<dep)/2;dfs(tr[p][1],cnt,dep-1);}
}
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1;i <= n;i++){cin >> x;insert(x);}for (int i = 30;i >= 0;i--)if (m>>i&1){long long p = 0,cnt = 1<<i;for (int j = 30;j >= i;j--){int s = m>>j&1;if (j == i) s = 0;if (tr[p][s]) p = tr[p][s];else{p = tr[p][s^1];ans += cnt*(1<<j);}}dfs(p,cnt,i-1);}cout << ans << "\n";return 0;
}
T5
AT_abc426_g Range Knapsack Query
猫树分治
一种比较高级的分治，关于分治可以看例题P7883，简单来说就是以一种类似归并排序的结构，每次处理跨过中间点的答案，或者有其他分治方式我不知道，然后就可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内处理完所有的答案。
猫树是一种比较高级的线段树，支持静态序列的区间查询，由于普通线段树每次查询要经过 \(O(\log n)\) 次合并，当维护的信息合并复杂度较高时，普通线段树就会比较慢，但是猫树来了。猫树的特点是对于线段树每个节点对应区间 \([l,r]\) 上找到中点 \(mid\)，然后处理出从 \(mid\) 出发向左向右各自延伸的区间信息，则对于每一个查询区间 \([ql,qr]\)，找到线段树上第一个完全包含 \([ql,qr]\) 的节点，或者也可以认为是 \(ql,qr\) 两个点的 lca，在此处进行合并即可。这样子合并只会发生 \(O(1)\) 次，可以降一个老哥。
当然猫树分治和线段树没关系，重点在于从中点出发向左右扩展的思想。对于每一个分治区间，考虑处理跨过中点的询问，处理出从中点向左右扩展的区间背包，总共是 \(O(nt\log n)\) 的复杂度，\(t\) 表示背包容量。那么每一个查询只需要合并两个区间即可，预处理出背包的前缀 \(\max\)，每计算一个询问的复杂度只有 \(O(t)\)。总复杂度为 \(O(mt)\)
整道题的复杂度为 \(O(nt\log n+mt)\)
注意猫树分治要满足信息的可合并性，保证合并两个区间的复杂度很重要(我想)。比如背包DP可以看作 \(\{\max,+\}\) 卷积的生成函数。
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,f[20010][510],x[510],y[510],h[20010],w[20010],ans[200010],tmp[510];
struct que
{ll l,r,m,id;bool operator<(const que &x) const{return r<x.r;}
};
vector<que> qry;
void dac(int l,int r,vector<que> g)
{if (l == r){for (auto it:g) ans[it.id] = it.m>=h[l]?w[l]:0;return;}int mid = l+r>>1;vector<que> gl,gr,aq;for (auto it:g){if (it.r <= mid) gl.push_back(it);else if (it.l > mid) gr.push_back(it);else aq.push_back(it);}dac(l,mid,gl); dac(mid+1,r,gr);sort(aq.begin(),aq.end());for (int i = 0;i <= 500;i++) f[mid+1][i] = 0;for (int i = mid;i >= l;i--){for (int j = 500;j >= h[i];j--) f[i][j] = max(f[i+1][j],f[i+1][j-h[i]]+w[i]);for (int j = h[i]-1;j >= 0;j--) f[i][j] = f[i+1][j];}int pos = mid+1;for (int i = 0;i <= 500;i++) x[i] = y[i] = tmp[i] = 0;for (auto it:aq){while(pos <= it.r){for (int i = 500;i >= h[pos];i--)tmp[i] = max(tmp[i],tmp[i-h[pos]]+w[pos]);pos++;}for (int i = 1;i <= 500;i++){x[i] = max(x[i-1],f[it.l][i]);y[i] = max(y[i-1],tmp[i]);}for (int i = 0;i <= it.m;i++) ans[it.id] = max(ans[it.id],x[i]+y[it.m-i]);}
}
inline int read()
{int x = 0;char ch = getchar();while(ch<'0'||ch>'9') ch = getchar();while(ch>='0'&&ch<='9'){x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch = getchar();}return x;
}
int main()
{n = read();for (int i = 1;i <= n;i++){h[i] = read(); w[i] = read();}m = read();for (int i = 0;i < m;i++) qry.push_back({read(),read(),read(),i});dac(1,n,qry);for (int i = 0;i < m;i++) cout << ans[i] << "\n";return 0;
}